Stetigkeit und Differenzierbarkeit - psiquadrat

Bergische Universität Wuppertal
Fachbereich C – Mathematik
Wintersemester 2009/2010
Didaktik der Analysis
Herr Passon
Stetigkeit
und
Differenzierbarkeit
Andrea Paffrath
540836
9. Semester
andreapaffrath@web.de 03.02.2010

Inhaltsverzeichnis:
1. Stetigkeit
1.1 Stetigkeit über Grenzwerte
1.2 Stetigkeit an einer Stelle
1.3 Stetigkeit einer Funktion / auf einem Intervall
1.4 Bestimmte Stetigkeitssätze
1.4.1 Verknüpfungssatz
1.4.2 Extremwertsatz
1.4.3 Zwischenwertsatz
1.4.4 Nullstellensatz
1.5 Stetigkeit und Differenzierbarkeit
2. Stetigkeit in der Schule
3. Vergleich der Einführung der Differenzierbarkeit
(Tangentensteigung/Stetigkeit)
4. Fazit

1. Stetigkeit
1.1 Stetigkeit über Grenzwerte
Möchte man die Stetigkeit mit Hilfe des Grenzwertes einführen, so ist
zunächst der Grenzwert zu definieren. Wir definieren den Grenzwert einer
Funktion wie folgt:
1) f sei in einer Umgebung der Stelle x0, evtl. mit Ausnahme von x0
selbst, definiert. Wenn für jede Folge von x-Werten xk mit dem
Grenzwert x0 (wobei xk є Df und xk ≠ x0) die Folge der Funktionswerte
f(xk) den Grenzwert G hat, dann heißt G Grenzwert von f an der
Stelle x0.
Man schreibt dafür auch kurz: lim(x→x0) f(x) = G oder formuliert dies
als: f konvergiert für x→x0 gegen G.
2) Die Funktion f besitzt an der Stelle x0 den Grenzwert G, wenn es zu
jeder ε-Umgebung Uε von G eine δ-Umgebung Uδ von x0 gibt, so
dass für alle x є Uδ∩Df und x ≠ x0 folgt f(x) є Uε.
Damit die Schüler und Schülerinnen nun einen Bezug zur Stetigkeit
entwickeln können, werden in den Schulbüchern meist einführende
Beispiele genannt.
Es stellt sich die Frage, ob es berechtigt ist, den Graph einer Funktion
dadurch zu ermitteln, dass man eine Reihe von Funktionswerten
berechnet und die zugehörigen Punkte durch einen Kurvenzug verbindet.
Es geht um die Frage, ob man davon ausgehen kann, dass die einzelnen
Punkte eines Funktionsgraphen stets so eng „zusammenhängen“, dass
man die Kurve in einem Zug – also ohne Absetzten des Zeichenstiftes –
zeichnen darf. Ist dies der Fall, handelt es sich um eine stetige Kurve.
Folgende Beispiele wären einführende Beispiele für die Erarbeitung des
Stetigkeitsbegriffs:

1)
Ein Stein fällt im freien Fall ohne Berücksichtigung des Luftwiderstandes
aus der Anfangshöhe von 20m herunter. Nach einer Sekunde hat er noch
die Höhe h1 von 15m.
2)
Ein Brief nach Schweden bis zu 20g kostet 0,70DM. Wenn man 20g nur
geringfügig überschreitet, beträgt das Porto sofort 1,20DM
Betrachtet man diese Beispiele, so kann man anhand des ersten Beispiels
eine stetige und mit Hilfe des zweiten Beispiels eine unstetige Funktion
beschreiben.
Anders als beim Beispiel 1) zeigt das Beispiel 2) eine unstetige Funktion.
Hier ist der linksseitige Grenzwert anders als der rechtsseitige.
Wir formulieren eine Definition zur Stetigkeit:
Es sei f eine Funktion und x0 eine Stelle ihrer Definitionsmenge Df. Die
Funktion heißt stetig an der Stelle x0, wenn die folgenden beiden
Bedingungen erfüllt sind:

- Der Grenzwert von f an der Stelle x0 existiert.
- Der Grenzwert von f bei x0 stimmt mit dem Funktionswert f(x0) überein.
Dies kann man kurz auch als „f heißt stetig bei x0, wenn lim(x→x0)
f(x)=f(x0) gilt“ beschreiben.
Möchte man nun wieder die Verbindung zu den Grenzwertsätzen
herstellen, so kann man folgende Definition einbringen:
Eine Funktion heißt an einer Stelle x0 є Df stetig, wenn es zu jeder ε-
Umgebung von f(x0) eine δ-Umgebung von x0 gibt, in der die
Funktionswerte aller der ε-Umgebung von f(x0) angehören.
Anschaulich sähe das dann an den vorher verwendeten Beispielen wie
folgt aus:
1.2 Stetigkeit an einer Stelle x0
Dementsprechend kann man die Stetigkeit an der Stelle x0 wie folgt
definieren:
Es sei f eine Funktion und x0 eine Stelle ihrer Definitionsmenge Df. Die
Funktion heißt stetig an der Stelle x0, wenn die beiden Bedingungen erfüllt
sind:
- Der Grenzwert von f an der Stelle x0 existiert.
- Der Grenzwert von f bei x0 stimmt mit dem Funktionswert f(x0) überein.
Bzw. kann man dafür auch kurz schreiben: f heißt stetig bei x0, wenn
lim(x→x0) f(x)=f(x0) gilt.

1.3 Stetigkeit einer Funktion / auf einem Intervall
Bisher haben wir die Stetigkeit in einem Punkt beschrieben. Nun möchten
wir die Stetigkeit einer Funktion bzw. die Stetigkeit auf einem Intervall
definieren. Dazu führen wir den links- und rechtsseitigen Stetigkeitsbegriff
ein.
Eine Funktion f heißt
- linksseitig stetig an der Stelle x0єDf ↔ l-lim(x→x0) f(x)=f(x0)
- rechtsseitig stetig an der Stelle x0єDf ↔ r-lim(x→x0) f(x)=f(x0).
Somit ist eine Funktion f genau dann stetig an einer Stelle x0, wenn sie an
dieser Stelle links- und rechtsseitig stetig ist und wenn l-lim(x→x0) f(x)= rlim(x→x0)
f(x) ist.
Anschließend können wir die Stetigkeit auf einem Intervall definieren: Eine
Funktion f heißt „stetig über einem abgeschlossenen Intervall [a,b]“ ↔
wenn sie an der Stelle a rechtsseitig stetig, an der Stelle b linksseitig stetig
und über ]a,b[ stetig ist.
Möchte man die Stetigkeit auf einem Intervall noch konkretisieren, so ist
eine Funktion f(x)=x im offenen Intervall ]a,b[ von Df stetig, wenn sie an
allen Stellen xє]a,b[ stetig ist bzw. im abgeschlossenen Intervall [a,b] von
Df stetig, wenn sie in ]a,b[ stetig und in den Randpunkten a und b einseitig
stetig ist.
1.4 Bestimmte Stetigkeitssätze
Die nachfolgenden Sätze über stetige Funktionen werden im Unterricht
meist nicht bewiesen. In Schulbüchern werden die entsprechenden
Beweise meist nur in Anhängen behandelt.
1.4.1 Verknüpfungssatz
Man möchte die Schüler und Schülerinnen dennoch motivieren. Zum
Beispiel mit den einleitenden Worten: „Wenn man mit einer Funktion
arbeitet, ist es meist wichtig, zu wissen, ob sie stetig ist. Es wäre nun recht
mühsam, müsste man in jedem Einzelfall die Stetigkeit durch Anwendung

der Stetigkeitsdefinition beweisen. Eine große Erleichterung bietet der
Verknüpfungssatz:“ 1 aus Mathematik Analysis.
Sind zwei Funktionen f und g in demselben Intervall J stetig, so gilt dies
auch für ihre Summe, ihre Differenz und ihr Produkt. Ebenso ist der
Quotient eine stetige Funktion in J, falls g(x)≠0.
1.4.2 Extremwertsatz
Der Extremwertsatz wird in Mathematik Analysis wie folgt motiviert:
„Für Funktionen, die in einem Intervall stetig sind, gelten einige wichtige
Sätze, von denen später häufig gebrauch gemacht wird.“ 2
Eine in einem abgeschlossenen Intervall stetige Funktion f ist in J
beschränkt und hat hier einen größten und einen kleinsten Funktionswert.
1.4.3 Zwischenwertsatz
Ist f eine in J=[x1,x2] stetige Funktion mit f(x1)=y1, f(x2)=y2, so gibt es zu
jedem Wert a zwischen y1 und y2 mindestens einen Wert xєJ mit f(x)=a.
Der Zwischenwertsatz wird mit Beispielen aufgearbeitet:
1) Bespiel mit einer stetigen Funktion
Quelle: Lambacher-Schweizer
1 Mathematik Analysis S.55
2 Mathematik Analysis S.56

2) Beispiel mit einer unstetigen Funktion
Quelle: Lambacher-Schweizer
1.4.4 Nullstellensatz
Der Nullstellensatz wird beispielsweise wie folgt erarbeitet:
Quelle: Lambacher-Schweizer
Ist f eine in J=[x1,x2] stetige Funktion, deren Funktionswerte an den
Randpunkten x1 und x2 verschiedene Vorzeichen haben, so gibt es
mindestens einen Wert x′єJ mit f(x′)=0.
Ein weiteres Beispiel für den Nullstellensatz ist das folgende:

Quelle: Lambacher-Schweizer
Der Schnittpunkt zweier Funktionen soll ermittelt werden. Durch
Umformungen sucht man die Nullstelle der neu entstandenen Funktion.
Man ermittelt ein Intervall, in dem der Schnittpunkt liegen könnte.
Näherungsweise wird hier der Schnittpunkt mithilfe einer
Tabellenkalkulation bestimmt.
1.5 Stetigkeit und Differenzierbarkeit
Ist die Stetigkeit definiert, so kann man den Zusammenhang zur
Differenzierbarkeit herstellen.
Eine Funktion f ist an einer Stelle x0 bzw. auf einem Intervall stetig, wenn
sie dort differenzierbar ist.
Wenn eine Funktion f an einer Stelle x0 differenzierbar ist, dann gilt:
f(x)-f(x0)
x-x0
→ f’(x0) für x→x0 bzw. lim (x→x0) f(x) = f’(x0).
Die folgenden Darstellungen sollen den Schülern und Schülerinnen diesen
Zusammenhang bildlich besser verständlich machen.

Ist eine Funktion f differenzierbar, so ist sie auch stetig:
Ist eine Funktion f nicht stetig, so ist sie auch nicht differenzierbar:
Ist eine Funktion f nicht differenzierbar, kann sie aber dennoch stetig sein:

2. Stetigkeit in der Schule
Die Stetigkeit wird heutzutage nicht mehr in den Schulalltag mit
aufgenommen. Die aktuellen Schulbücher bearbeiten das Thema der
Stetigkeit nur noch im minimalen Umfang. Meist nimmt sie nicht mehr als
eine Schulbuchseite in Anspruch. In älteren Schulbüchern findet man
demgegenüber weit aus mehr Material zu diesem Thema.
Betrachten wir nun die Kernlehrpläne der Oberstufe, so kann man
folgendes festhalten:
Kernlehrplan (G8) – Jahrgangsstufe 11
Die gymnasiale Oberstufe beginnt in der Klasse 11 und behandelt dort die
Themen Koordinatengeometrie, beschreibende Statistik und die
Differentialrechnung ganzrationaler Funktionen.
In Bezug auf das Themengebiet der Differentialrechnung ganzrationaler
Funktionen sind folgende Inhalte verpflichtend:
1. Mittlere Änderungsrate, durchschnittliche Steigung, Sekante,
Differenzenquotient
2. Momentane Änderungsrate, lokale Steigung, Tangente,
Grenzprozess des Differenzenquotienten
3. Ableitung und Ableitungsfunktion, Tangentengleichung
4. Ableitungsregeln für ganzrationale Funktionen
5. Untersuchung ganzrationaler Funktionen bzgl. Nullstellen,
Symmetrie, Steigungsverhalten/Hoch- und Tiefpunkte,
Krümmungsverhalten/Wendepunkte 3
„In der Differentialrechnung tritt bei der Erarbeitung von
Gesetzmäßigkeiten die zentrale Idee des funktionalen Zusammenhangs in
den Vordergrund. Im Umgang mit Funktionen werden darüber hinaus
Verfahren entwickelt und angewandt, die, z.B. in Näherungsverfahren zur
3 Vgl. Kernlehrplan S.15

Nullstellenbestimmung, die Idee des Algorithmus widerspiegeln.
Näherungsprozesse lassen sich auf die Idee der Zahl hin reflektieren.“ 4
Kernlehrplan (G8) – Jahrgangsstufe 12/13
Die Jahrgangsstufen 12 und 13 beinhalten folgende Themengebiete:
Analysis, Lineare Algebra/Geometrie, Stochastik.
Im Themengebiet der Analysis soll, an die schon bereits entstandenen
zentralen Ideen wieder aufgenommen werden, weiter entfaltet, vertieft und
miteinander verknüpft werden. „Unmittelbar deutlich wird das bei der Idee
des funktionalen Zusammenhangs, wenn systematisch Begriffe und
Verfahren zur Beschreibung von Funktionen und Funktionenklassen
entwickelt werden.“ 5 Hierfür werden Funktionenklassen wie
trigonometrische Funktionen und Exponentialfunktionen zur Modellierung
genutzt. Gleichzeitig tritt die Beschäftigung mit dem Unendlichen und mit
Grenzprozessen in den Vordergrund. Der Integralbegriff wird im
Folgenden mit der Idee des Algorithmus verknüpft.
Da bereits in der Jahrgangsstufe 11 Grenzwerte eingeführt werden, mit
dessen Hilfe dann auch Funktionsuntersuchungen ermöglicht werden,
müssten die Schüler und Schülerinnen schon hier auf die Begriffe der
Stetigkeit und Differenzierbarkeit hingewiesen werden. Dies wird
allerdings nicht explizit vom Lehrplan gefordert. Ebenso wird in den
weiterführenden Jahrgangsstufen zwar eine Vertiefung und eine
Anknüpfung an das Vorwissen aus der Jahrgangsstufe 11 gefordert, aber
es wird nicht darauf hingewiesen, dass die Schüler und Schülerinnen auf
das Problem unstetiger Funktionen aufmerksam gemacht werden müssen.
Somit erfasst der Lehrplan den Begriff der Stetigkeit nicht (mehr). Es steht
der Lehrperson frei, die Stetigkeit einzuführen.
4 Kernlehrplan S.16
5 Vgl. Kernlehrplan S.17

3. Vergleich der Einführung der Differenzierbarkeit
3.1 über die Stetigkeit
Wie bereits in Bezug auf die Verwendung des Stetigkeitsbegriffs in der
Schule erwähnt, wird die Stetigkeit in der Schule nur eingeführt, wenn die
Lehrperson sich dafür entscheidet.
Daraus ergibt sich aber auch, dass die Differenzierbarkeit meist über die
Tangentensteigung eingeführt wird.
Im folgenden haben wir drei Beispiele, die die Einführung der
Differenzierbarkeit erarbeiten:
� Die grafische Darstellung einer Funktion aufgrund einer Wertetabelle
� Geometrische Betrachtungen am Graphen: Sekanten- und
Tangentensteigung
� Physikalische Betrachtungen: Mittlere und momentane
Geschwindigkeit
Die grafische Darstellung einer Funktion aufgrund einer Wertetabelle
f(x)=½•x³-2•x²+x-1, Df=[0,4]
Hierbei kann das Problem entstehen, dass bei der Darstellung anhand
einer Wertetabelle die Punkte zufällig verbunden werden und sich nicht
am Verlauf des Graphen orientieren.

Eine größere Gewissheit über die graphische Darstellung der Funktion
würde man erhalten, wenn man für jeden Punkt eine steigende oder
fallende Tendenz belegen könnte. Zudem wäre das Wissen über den
minimalen bzw. maximalen Funktionswert sinnvoll. Die dazu erforderlichen
geometrischen Voraussetzungen werden am nächsten Beispiel erarbeitet.
Die geometrische Betrachtungen am Graphen: Sekanten- und
Tangentensteigung
Wir betrachten die Funktion f(x)=x²
Sekantensteigung – Definition:
Unter der Steigung einer Geraden AB mit A(x1,y1) und B(x2,y2) versteht
man den Wert des Differenzenquotienten. Dieser Quotient definiert den
Tangens des Winkels α (Neigungswinkel der Geraden gegen die x-Achse)
Tangentensteigung – Definition:
Haben die Steigungen der Sekanten durch einen festen Punkt P auf dem
Graphen Gf einer Funktion f den Grenzwert m, wenn der zweite
Sekantenschnittpunkt Q gegen P „wandert“, so heißt dieser Grenzwert die
Steigung der Tangente im Punkt P von Gf.

Man betrachtet die Punkte S(0,0), A1(1,1) und A2(2,4). Die Geraden SA1,
SA2 und A1A2 bilden die Sekanten des Graphen. Die Steigung der Sekante
ist der Tangens des Neigungswinkels gegen die positive x-Achse.
Dabei ist die Steigung der Sekante SA1: tan(α1) = 1, die Steigung der
Sekante SA2: tan(α2) = 2 und die Steigung der Sekante A1A2: tan(α3) = 3.
Der Tangens wird immer mithilfe des Differenzenquotienten ermittelt.
Wir kommen zu dem Schritt von der Sekanten- zur Tangentensteigung.
Hierbei wird an diesem Beispiel der Fragestellung nachgegangen, ob die
Tangente im Punkt S an den Graphen von f offensichtlich die x-Achse ist,
deren Steigung den Wert 0 hat.
Dabei unterscheiden sich aber die Steigungen der Sekanten durch S
wenig vom Wert 0, wenn nur der zweite Sekantenschnittpunkt mit Gf
genügend nahe an S heranrückt. Der Grenzwert der Sekantensteigung im
Punkt S ist 0, wenn der zweite Sekantenschnittpunkt gegen S wandert.
Also ist die Sekantensteigung gleich der Tangentensteigung.
Folglich ist eine Tangente in einem Punkt eines Funktionsgraphen die
Gerade durch P, deren Steigung mit dem Grenzwert der
Sekantensteigung übereinstimmt.
Es ist jedoch zu beachten, dass der zweite Sekantenschnittpunkt Q
sowohl „rechts“ als auch „links“ von P liegen kann. Die „Wanderung“
gegen P muss also von beiden Seiten zur gleichen „Grenzsekante“ und
damit zum gleichen Grenzwert führen.

Die physikalische Betrachtungen: Mittlere und momentane
Geschwindigkeit
Bei der physikalischen Betrachtung geht man den Schritt vom
algebraischen zum analytischen. Die momentane oder auch lokale
Änderungsrate wird aufgrund des Grenzwertes der mittleren
Änderungsrate gebildet.
Da der Grenzwert als Voraussetzung für die Stetigkeit gilt und man die
Ableitung bildet, kann man an dieser Stelle die Differenzierbarkeit
herleiten.
Quelle: Danckwerts/Vogel
4. Fazit
Wie ja schon dargestellt wurde, sieht der Lehrplan die Erarbeitung der
Stetigkeit nicht vor. Somit liegt es im Ermessen der Lehrperson, die
Stetigkeit einzuführen bzw. die Differenzierbarkeit über den
Stetigkeitsbegriff einzuführen. In der Diskussionsrunde des Seminars
konnte man auch keine klare Linie erkennen. Daraus kann man schließen,
dass auch in Zukunft die Erarbeitung der Stetigkeit nur erarbeitet wird,
wenn die Lehrperson dies vorsieht.

Literaturverzeichnis:
Danckwerts, R./ Vogel, D. (2006), Analysis verständlich unterrichten,
Elsevier, 2006.
Griesel/Postel (1988), Mathematik heute, Einführung in die Analysis 1,
Schrödel-Schöningh-Verlag, 1988.
Hahn/Dzewas (2003), Analysis Leistungskurs, Westermann-Verlag, 2003.
Keil, K./ Kratz, J./ Müller, H./ Wörle, K. (1989): Analysis Kurzfassung. Ein
Lehr- und Arbeitsbuch. Bayerischer Schulbuch-Verlag, 1989.
Kuypers, W. (Hrsg.) (1976): Mathematikwerk für Gymnasien. Oberstufe.
Analysis I, Pädagogischer Verlag Schwann, 1976.
Lambacher-Schweizer (2004), Mathematik-Sekundarstufe II-Gesamtband,
Klett-Verlag 2004.
Lambacher-Schweizer (2000), Analytische Geometrie mit linearer Algebra,
Klett-Verlag 2000.
Müller (2002):Kompakt-Wissen Mathematik Abitur in dem Band Analysis,
Stark-Verlgagsgesellschaft, 2002.