TU Kaiserslautern - AG Softwaretechnik

Aufgabe 3 Terminierung (Präsenzaufgabe)
In dieser Aufgabe wollen wir die Terminierung von Funktionen mit dem Verfahren aus der Vorlesung beweisen.
Wir betrachten wieder einmal die Fibonacci Funktion, implementiert durch:
f :: Integer -> Integer
f 0 = 0
f 1 = 1
f n = f (n - 1) + f (n - 2)
Beweisen Sie, dass diese Funktion terminiert, denken Sie aber daran, dass wir uns nur für Parameter aus den
natürlichen Zahlen interessieren.
Aufgabe 4 Terminierung (Einreichaufgabe)
a) Beweisen Sie, dass die Funktion divConstZero, die wir im Rahmen der Expressions-Aufgabe geschrieben
haben, terminiert:
data Expr =
Const Integer
| Binary Op Expr Expr
deriving (Eq, Ord , Show)
data Op = Mult | Div | Plus | Minus
deriving (Eq, Ord , Show)
divConstZero :: Expr -> Bool
divConstZero (Const _) = False
divConstZero (Binary Div _ (Const 0)) = True
divConstZero (Binary _ a b) = divConstZero a || divConstZero b
Hinweis: Betrachten Sie ausschließlich endliche Ausdrücke und machen Sie dies im Beweis klar.
b) Wir betrachten folgende Implementierung der Primfaktorzerlegung (für Zahlen ≥ 2) und wollen beweisen,
dass sie für jede Eingabe terminiert:
primfaktoren :: Integer -> [Integer]
primfaktoren c = if c < 2 then [c] else faktor (c, 2)
faktor :: (Integer , Integer) -> [Integer]
faktor (c, x) =
if c == x then [x] else
if c �mod� x /= 0 then faktor (c, x + 1) else
x : faktor (c �div� x, 2)
Da die Funktion primfaktoren nicht rekursiv ist, terminiert sie, wenn alle von ihr aufgerufenen Funktionen
terminieren. Wir müssen also beweisen, dass die Funktion faktor terminiert, zumindest auf dem
Parameter-Bereich, der von primfaktoren oder faktor aufgerufen wird. Sei also P der zulässige Parameterbereich:
P = � (c, x) | 2 ≤ x ≤ c � ⊂ N × N
Beweisen Sie, dass es durch einen Aufruf von primfaktoren (und die Folgeaufrufe durch faktor selbst)
nur zulässige Aufrufe von faktor mit einem Parameter aus P geben wird: G(n) ∈ P.
c) Um die Terminierung nun zu beweisen, verwenden wir das Verfahren aus der Vorlesung. Als noethersche
Ordnung verwenden wir die Menge der Paare aus natürlichen Zahlen (N × N, ≤) mit der komponentenweisen
Ordnung, d.h. ist die erste Komponente gleich wird nach der zweiten geordnet, wie auf
natürlichen Zahlen, ansonsten wird nach der ersten Komponente geordnet. Das kleinste Element ist dann
einfach (0, 0).