Tropical Combinatorics

Example: Tropical Line Segment in T 2
[(0, 2, 0), (0, −2, −2)]trop
= {λ ⊙ (0, 2, 0) ⊕ µ ⊙ (0, −2, −2) : λ, µ ∈ R}
= {(min(λ, µ), min(λ + 2, µ − 2), min(λ, µ − 2))}
= {(λ, λ + 2, λ) : λ ≤ µ − 4}
∪ {(λ, µ − 2, λ) : µ − 4 ≤ λ ≤ µ − 2}
∪ {(λ, µ − 2, µ − 2) : µ − 2 ≤ λ ≤ µ}
∪ {(µ, µ − 2, µ − 2) : µ ≤ λ}
= {(0, µ − λ − 2, 0) : 2 ≤ µ − λ ≤ 4}
∪ {(0, µ − λ − 2, µ − λ − 2) : 0 ≤ µ − λ ≤ 2}
Case Distinction
λ ∈ (−∞, µ−4]∪[µ−4, µ−2]∪[µ−2, µ]∪[µ, ∞)
(0,0,0)
(0, 2, 2)
(0,2,0)