Matrixregning i Maple

estart;
Vi skal benytte os intensivt af pakken LinearAlgebra i kurset LinAlg (dermiod vil vi undgå pakken linalg!).
Derfor vil vi altid begynde med:
> with(LinearAlgebra);
[&x, Add, Adjoint, BackwardSubstitute, BandMatrix, Basis, BezoutMatrix, BidiagonalForm, BilinearForm,
CharacteristicMatrix, CharacteristicPolynomial, Column, ColumnDimension, ColumnOperation,
ColumnSpace, CompanionMatrix, ConditionNumber, ConstantMatrix, ConstantVector, Copy,
CreatePermutation, CrossProduct, DeleteColumn, DeleteRow, Determinant, Diagonal, DiagonalMatrix,
Dimension, Dimensions, DotProduct, EigenConditionNumbers, Eigenvalues, Eigenvectors, Equal,
ForwardSubstitute, FrobeniusForm, GaussianElimination, GenerateEquations, GenerateMatrix,
GetResultDataType, GetResultShape, GivensRotationMatrix, GramSchmidt, HankelMatrix,
HermiteForm, HermitianTranspose, HessenbergForm, HilbertMatrix, HouseholderMatrix,
IdentityMatrix, IntersectionBasis, IsDefinite, IsOrthogonal, IsSimilar, IsUnitary, JordanBlockMatrix,
JordanForm, LA_Main, LUDecomposition, LeastSquares, LinearSolve, Map, Map2, MatrixAdd,
MatrixExponential, MatrixFunction, MatrixInverse, MatrixMatrixMultiply, MatrixNorm, MatrixPower,
MatrixScalarMultiply, MatrixVectorMultiply, MinimalPolynomial, Minor, Modular, Multiply,
NoUserValue, Norm, Normalize, NullSpace, OuterProductMatrix, Permanent, Pivot, PopovForm,
QRDecomposition, RandomMatrix, RandomVector, Rank, RationalCanonicalForm,
ReducedRowEchelonForm, Row, RowDimension, RowOperation, RowSpace, ScalarMatrix,
ScalarMultiply, ScalarVector, SchurForm, SingularValues, SmithForm, SubMatrix, SubVector,
SumBasis, SylvesterMatrix, ToeplitzMatrix, Trace, Transpose, TridiagonalForm, UnitVector,
VandermondeMatrix, VectorAdd, VectorAngle, VectorMatrixMultiply, VectorNorm, VectorScalarMultiply,
ZeroMatrix, ZeroVector, Zip]
>
Matrixregning i Maple
Matricer af størrelse op til 4x4 indtastes nemmest med brug af menuen til venstre. Klik på det ønskede
format under Matrix og benyt tabulatorknappen:
> A[1]:=;
é 2 5ù
ê ú
A1 := ê 0 1ú
ê ú
ê ú
ë 4 -2û
> A[2]:=;
> A[3]:=;
> A[4]:=;
A 2 :=
é
ê
ê
ë
1 0 0ù
ú
0 -1 2
ú
û
A3 := [ 4 4 5]

é 2ù
ê ú
ê 8ú
A4 := ê ú
ê ú
ê 0ú
ê ú
ê ú
ë -4û
> A[5]:=;
é 1
ê
A5 := ê 1
ê
ê
ë 0
0
2
0
0ù
ú
1ú
ú
ú
1û
Matrixmultiplikation indikeres med punktum (og ikke med stjerne!):
> A[1].A[2];
hvis ikke et produkt har mening protesterer Maple med
> A[1].A[3];
é
ê
ê
ê
ê
ë
2 -5 10ù
ú
0 -1 2ú
ú
ú
4 2 -4û
Error, (in LinearAlgebra:-MatrixMatrixMultiply) first matrix column
dimension (2) second matrix row dimension (1)
Fordi den associative regel gælder giver det mening at udregne
> A[4].A[3].A[5].A[1].A[2];
> A[4].A[3].A[1].A[2].A[5];
Lad os se på
é
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ë
104 -60 120ù
ú
416 -240 480ú
ú
ú
0 0 0ú
ú
ú
-208 120 -240û
28 -56 28ù
ú
112 -224 112ú
ú
ú
0 0 0ú
ú
ú
-56 112 -56û

B:=;
é
ê
ê
ê
ê
B := ê
ê
ê
ê
ê
ê
ë
0
1
2
1
2
1
3
1
3
1
3
1ù
ú
2ú
ú
ú
0ú
ú
ú
ú
1ú
2
ú
û
Vi ganger med skalar med
> 2*B;
adderer med
> B+B;
og ganger med
> B.B;
é
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ë
0
1
1
0
1
1
5
12
1
6
5
12
Men kan også tage potenser (idet matricen er kvadratisk!)
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
5
18
5
18
4
9
ù
1ú
ú
ú
ú
0ú
ú
ú
ú
1
ú
ú
û
ù
1ú
ú
ú
ú
0ú
ú
ú
ú
1
ú
ú
û
1ù
ú
4ú
ú
1ú
ú
4ú
ú
ú
1ú
2
ú
û

B^2;
> B^100;
é
ê
ë
é
ê
ë
é
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ë
5
12
1
6
5
12
5
18
5
18
16751759576924895028120263260463021039414047963208544665474661022676619659155
54443218625005908841390855596504818378095309206079572628589330530791428456448 ,
4
9
100510557461549370168721579562778126236483518577935382290334494555650770871077
326659311750035453048345133579028910268571855236477435771535983184748570738688 ,
22335679435899860037493684347284028052551841262781426823842540167696411056363ù
ú ,
72590958166674545121854474128673091170793745608106096838119107374388571275264
é
ê
ë
50255278730774685084360789781389063118241526393548729562124183476808464318095
217772874500023635365563422386019273512381236824318290514357322123165713825792 ,
2355716190505063363329412021002612333667588309256875576958021343581397576361
10208103492188607907760785424344653445892870476139919867860499474523392835584 ,
8375879788462447514060131630231510519706998697397775454701718513140384425497 ù
ú
36295479083337272560927237064336545585396872804053048419059553687194285637632û
é
ê
ë
100510557461549370168721579562778126236483518577935382290334494555650770871077
217772874500023635365563422386019273512381236824318290514357322123165713825792 ,
150765836192324055253082369344167189354725510762322035018544805634493077424059
326659311750035453048345133579028910268571855236477435771535983184748570738688 ,
33503519153849790056240526520926042078827906950529119104873130180411391367907ù
ú
72590958166674545121854474128673091170793745608106096838119107374388571275264û
> evalf(B^100);
Matricer må gerne have symbolske indgange
é
ê
ê
ê
ê
ë
1ù
ú
4ú
ú
1ú
ú
4ú
ú
ú
1ú
2
ú
û
0.3076923077 0.3076923077 0.3076923077ù
ú
0.2307692308 0.2307692308 0.2307692308ú
ú
ú
0.4615384615 0.4615384615 0.4615384615û
> C:=;
é 1
ê
C := ê 0
ê
ê
ë d
c
2
-2
2 ù
ú
-3ú
ú
ú
-1û
û
,
ù
ú
û

B.C;
é
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ë
1
2 d
1
2
1 1
+
2 2 d
-1
3
1 2
c +
2 3
1 1
c -
2 3
-3ù
ú
2 ú
ú
ú
0 ú
ú
ú
ú
-1ú
2
ú
û
Visse matricer er forudprogrammerede i Maple. Vigtigst er IdentityMatrix
> E:=IdentityMatrix(3);
> E.B;
E :=
é
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é
ê
ê
ê
ê
ë
0
1
2
1
2
1 0 0ù
ú
0 1 0ú
ú
ú
0 0 1û
Det er muligt - men vi har endnu ikke set hvordan - at beregne den inverse matrix til visse matricer:
> MatrixInverse(B);
> B^(-1);
men ikke til alle...
> MatrixInverse();
é
ê
ê
ê
ê
ë
é
ê
ê
ê
ê
ë
1
3
1
3
1
3
1ù
ú
2ú
ú
ú
0ú
ú
ú
ú
1ú
2
ú
û
-2 0 2ù
ú
3 3 -3ú
ú
ú
0 -2 2û
-2 0 2ù
ú
3 3 -3ú
ú
ú
0 -2 2û
Error, (in LinearAlgebra:-LA_Main:-MatrixInverse) singular matrix

>
Illustrere lineære afbildninger på R^2
De følgende tre kommandoer skal benyttes ved løsning af ugeopgave 1.2:
> futhark:=[,,,,];
futhark :=
é
ê
ê
ë
é
ê
ê
ë
0ù
ú ,
0
ú
û
0 é ù
ê ú ,
ê
ë
3
ú
û
1 é ù
ê ú ,
ê
ë
2
ú
û
0 é ù
ê ú ,
ê
ë
1
ú
û
1 é ù
ê ú
ê
ë
0
ú
û
> tegn:=(LL,farve)->plot([seq([LL[i][1],LL[i][2]],i=1..5)],scaling=constr
ained,view=[-10..10,-10..10],thickness=3,color=farve);
tegn := ( LL, farve)
® plot æ é
ç
seqæ é LLi , LLi ù , i = 1 .. 5ö
ù
ê
çè
ç ê ú ÷ ú
ê è ë 1 2
ë
û ø ú
û
view = [ -10 .. 10, -10 .. 10],
thickness = 3, color = farve ö ÷
÷ø
ù
ú
ú
û
, scaling = constrained,
> illustrer:=(A,farve)->plots[display]([tegn(futhark,black),tegn(map(unap
ply(lin(A,x),x),futhark),farve),plots[textplot]([8,10,A[1,1]],font=[hel
vetica,bold ,24]),plots[textplot]([10,10,A[1,2]],font=[helvetica,bold
,24]),plots[textplot]([8,8,A[2,1]],font=[helvetica,bold
,24]),plots[textplot]([10,8,A[2,2]],font=[helvetica,bold ,24])]);
illustrer := ( A, farve)
® plotsdisplay ([tegn( futhark, black),
tegn( map( unapply( lin( A, x),
x),
futhark),
farve),
plotstextplot( [ 8, 10, A1, 1],
font = [ helvetica, bold, 24]
),
plotstextplot( [ 10, 10, A1, 2],
font = [ helvetica, bold, 24]
),
plotstextplot( [ 8, 8, A2, 1],
font = [ helvetica, bold, 24]
),
plotstextplot( [ 10, 8, A2, 2],
font = [ helvetica, bold, 24]
)])
Med disse tre kommanoder kan man illustrere effekten af at tage en lineær afbildning givet ved en 2x2 matrix
på figuren der ligner et oldnordisk R. Vi har fx
> S:=; illustrer(S,green);
S :=
é
ê
ê
ë
1 0ù
ú
0 -1
ú
û
Warning, unable to evaluate the function to numeric values in the region;
see the plotting command's help page to ensure the calling sequence is
correct

-10
-5
10
5
0
0
-5
-10
5
1
0
0
-1
Figuren i sort er den oprindelige, og den i grøn fremkommer heraf ved at tage den anførte lineære afbildning
på hvert punkt i den sorte figur. Vi har fx også
> F:=; illustrer(F,red);
é 3 0ù
F := ê ú
ê
ë
0 3
ú
û
Warning, unable to evaluate the function to numeric values in the region;
see the plotting command's help page to ensure the calling sequence is
correct
10

-10
-5
Det er ikke nødvendigt for at løse opgaven, men lad os forklare hvordan illutsrer virker. Vi har noteret 5
hjørner i den oprindelige figur...
>
>
>
> tegn(futhark,black);
10
5
0
0
-5
-10
5
3
0
0
3
10

lin:=(A,x)->A.x;
> S:=;
> lin(S,);
-10
-5
10
5
0
0
-5
-10
lin := ( A, x)
® A . x
S :=
é
ê
ê
ë
1 0ù
ú
0 -1
ú
û
é
ê
ê
ë
> Slin:=unapply(lin(S,x),x);
Slin := x ® ( Matrix( 1..2,1..2,[ ... ], [ ... ], datatype = anything, storage = rectangular, order = C_order ) .
x
> Slin();
>
> map(Slin,futhark);
é
ê
ê
ë
1ù
ú
-1
ú
û
1ù
ú
-1
ú
û
5
10

tegn(%,green);
-10
é 0ù
é 0ù
é 1ù
é 0ù
ê ú , ê ú , ê ú , ê ú ,
ê
ë
0
ú ê
û ë
-3
ú ê
û ë
-2
ú ê
û ë
-1
ú
û
1
é
é ù
ê
ê ú
ê
ê
ë
0
ú
ë
û
-5
10
5
0
0
-5
-10
> illustrer:=(A,farve)->plots[display]([tegn(futhark,black),tegn(map(unap
ply(lin(A,x),x),futhark),farve),plots[textplot]([8,10,A[1,1]],font=[hel
vetica,bold ,24]),plots[textplot]([10,10,A[1,2]],font=[helvetica,bold
,24]),plots[textplot]([8,8,A[2,1]],font=[helvetica,bold
,24]),plots[textplot]([10,8,A[2,2]],font=[helvetica,bold ,24])]);
illustrer := ( A, farve)
® plotsdisplay ([tegn( futhark, black),
tegn( map( unapply( lin( A, x),
x),
futhark),
farve),
plotstextplot( [ 8, 10, A1, 1],
font = [ helvetica, bold, 24]
),
plotstextplot( [ 10, 10, A1, 2],
font = [ helvetica, bold, 24]
),
plotstextplot( [ 8, 8, A2, 1],
font = [ helvetica, bold, 24]
),
plotstextplot( [ 10, 8, A2, 2],
font = [ helvetica, bold, 24]
)])
> illustrer(S,green);
5
ù
ú
ú
û
10

-10
-5
10
5
0
0
-5
-10
> millustrer:=(A,farve)->plots[display]([tegn(futhark,black),tegn(map(una
pply(lin(A,x),x),futhark),farve)]);
millustrer := ( A, farve)
® plotsdisplay ( [ tegn( futhark, black),
tegn( map( unapply( lin( A, x),
x),
futhark),
farve)
])
> millustrerfusk:=(fusk,farve)->plots[display]([tegn(futhark,black),tegn(
fusk,farve)]);
millustrerfusk := ( fusk, farve)
® plotsdisplay( [ tegn( futhark, black),
tegn( fusk, farve)
] )
> fuski:=array(1..2,1..2);
> millustrer(,red);
fuski := array( 1 .. 2, 1 .. 2, [] )
5
1
0
0
-1
10

-10
> millustrer(,green);
-5
10
5
0
0
-5
-10
5
10

-10
10
5
0
0
> millustrerfusk(map(x->x+,futhark),cyan);
-5
-5
-10
5
10

-10
-5
> millustrerfusk([,,,,],magenta);
10
5
0
0
-5
-10
5
10

-10
> plots[display](fuski);
-5
10
5
0
0
-5
-10
Error, (in plots/display_array) first argument must be a plot structure
or list, set or array of plot structures
>
5
10