Wheeler, Mechanics

δS =
=
=
∫
∫
∫
L (x + δx, x ′ + δx ′ ) dλ −
L (x, x ′ ) + ∂L ∂L
δx +
∂x ∂ẋ δx′ + 1 2!
∂ 2 L
L (x, x ′ ) dλ
∂ 2 L
∂x∂x (δx)2
+ ∂2 L
∂x∂ẋ δxδx′ + 1 2! ∂x ′ ∂x ′ (δx′ ) 2 − L (x, x ′ ) dt
∫ ∂L ∂L
δx +
∂x ∂x ′ δx′ + 1 ∂ 2 L
2! ∂x (λ) ∂x (λ) (δx)2
∂ 2 L
+
∂x (λ) ∂x ′ (λ) δxδx′ + 1 ∂ 2 L
2! ∂x ′ (λ) ∂x ′ (λ) (δx′ ) 2
Now, to integrate each of the various terms by parts, we need to insert some delta functions. Look at one
term at a time:
∫
∫
∂L
d ∂L
∂x ′ δx′ = −
dλ ∂x ′ δx
I 2 = 1 ∫
dλ ∂2 L
2! ∂x∂x (δx)2
= 1 ∫ ∫
dλ 1 dλ 2 δ (λ 1 − λ 2 ) ∂2 L
2
∂x∂x δx (λ 1) δx (λ 2 )
∫
I 3 = dλ ∂2 L
∂x∂x ′ δxδx′
= 1 ∫ ∫
dλ 1 dλ 2 δ (λ 1 − λ 2 )
2
and finally,
× ∂2 L
∂x∂x ′ (δx (λ 1) δx ′ (λ 2 ) + δx (λ 2 ) δx ′ (λ 1 ))
= − 1 ∫ ∫ ( (
)
d
dλ 1 dλ 2 δ (λ 1 − λ 2 ) ∂2 L
2
dλ 2 ∂x∂x ′
+ d (
))
δ (λ 1 − λ 2 ) ∂2 L
dλ 1 ∂x∂x ′ δx (λ 1 ) δx (λ 2 )
= − 1 ∫ ∫ ( ∂
dλ 1 dλ 2 δ (λ 1 − λ 2 ) ∂2 L
2
∂λ 2 ∂x∂x ′
+ ∂
∂λ1 δ (λ 1 − λ 2 ) ∂2 L
∂x∂x ′
d ∂ 2 )
L
+δ (λ 1 − λ 2 )
dλ 1 ∂x∂x ′ δx (λ 1 ) δx (λ 2 )
= − 1 ∫ ∫
d ∂
dλ 1 dλ 2
(δ 2 )
L
(λ 1 − λ 2 )
2
dλ 1 ∂x∂x ′ δx (λ 1 ) δx (λ 2 )
I 4 = 1 ∫
∂ 2 L
dλ
2! ∂x ′ (λ) ∂x ′ (λ) (δx′ ) 2
= 1 ∫ ∫
∂ 2 L
dλ 1 dλ 2 δ (λ 1 − λ 2 )
2
∂x ′ (λ 2 ) ∂x ′ (λ 1 ) δx′ (λ 1 ) δx ′ (λ 2 )
= 1 ∫ ∫
(
∂ ∂
∂ 2 )
L
dλ 1 dλ 2 δ (λ 1 − λ 2 )
2
∂λ 1 ∂λ 2 ∂x ′ (λ 1 ∂x ′ δx (λ 1 ) δx (λ 2 )
(λ 2 )
= 1 ∫ ∫ (
∂ ∂
∂ 2 )
L
dλ 1 dλ 2 δ (λ 1 − λ 2 )
2
∂λ 1 ∂λ 2 ∂x ′ ∂x ′ δx (λ 1 ) δx (λ 2 )
32