Number theory, geometry and algebra - Dynamics-approx.jku.at

Such a representation is finite if there is an N so that c n = 0 for n > N.
In the case of an infinite representation i.e. of the form
0,c 1 c 2 ... c n (g −1)(g −1)(g −1)...
then we can rewrite it in the finite form.
1.2 Integritätsbereiche
(= 0,c 1 .....(c n +1)00...).
Wir bringen eine abstrakte Version des Fundamentalsatzes über Primzahlen.
Der obige Beweis läßt sich fast wörtlich übertragen.
Im folgenden bezeichnet R einen kommutativen Ring mit Einheit. x ∈
R ist ein Nullteiler, falls y ∈ R mit x·y = 0 existiert. x ist eine Einheit,
falls y ∈ R mit x · y = 1 existiert. R ist ein Integritätsbereich, falls R
keine Nullteiler besitzt.
Falls a,b ∈ R (mit a ≠ 0), dann ist a ein Teiler von b, falls c existiert,
mit a = bc (gesch. a|b). Falls a|b und b|a dann sind a und b assoziert. Mit
(a) bezeichnen wir das von a erzeugte Hauptideal d.h. {ar: r ∈ R}. Es gilt
damit: a|b ⇔ (a) ⊃ (b), bzw. a und b sind assoziert ⇔ (a) = (b).
Das Element u ist genau dann eine Einheit, wenn (u) = R gilt. Falls
a = bu wobei u eine Einheit ist, dann sind a und b assoziert. Das umgekehrt
gilt, falls R ein Integritätsbereich ist.
Definition: Ein Element c(≠ 0) aus R ist irreduzierbar, falls gilt: Wenn
c eine Darstellung a·b hat, dann ist entweder a oder b eine Einheit. p ∈ R
ist prim falls gilt: p|ab ⇒ p|a oder p|b.
Beispiel: In Z 6 ist 2 = 2·4. Daher ist 2 zwar prim, aber nicht irreduzibel.
Bemerkung: p ist genau dan prim, wenn I = (p) ein Primideal ist (ein
Ideal I ⊂ R ist prim, wenn gilt: ab ∈ I ⇒ a ∈ I oder b ∈ I). c ist irreduzibel
⇔ I = (c) maximal in der Familie aller echten Hauptidealen.
Man sieht leicht, daß jedes Primelement irreduzierbar ist. Falls R ein
Hauptidealbereich ist, (d.h. ein Bereich, in dem jedes Ideal ein Hauptideal
ist), dann gilt:
p prim ⇔ p irreduzierbar
10