Estimation of parameters of the Gompertz distribution using the least ...

136 J.-W. Wu et al. / Appl. Math. Comput. 158 (2004) 133–147
for each k ¼ 1, 2, 3, 4. Then the corresponding UWLS estimates of c and k
satisfy the following normal equations for k ¼ 1, 2, 3:
( !
!)
^c k ¼
Xn ^c k x e^c kx ðiÞ ðiÞ þ e^c k x ðiÞ
1 e^c kx ðiÞ
1
e^c kx ðiÞ
ln
1
^c k
^k k ¼
(
(
i¼1
X n
Yn
i¼1
i¼1
1 X n
n
i¼1
ð
^c k x ðiÞ e^c kx ðiÞ þ e^c k x ðiÞ
1
^c k ðe^c kx ðiÞ
1Þ
lnð lnð1 p ki ÞÞ þ 1 n
lnð1
!"
lnð
X n
i¼1
ln
lnð1
p ki ÞÞ
e^c kx ðiÞ
1
^c k
!#) 1
;
) 1=n ( !) ð 1=nÞ
Y n e^c kx ðiÞ
1
p ki ÞÞ
^c k
i¼1
and
( !
!)
^c 4 ¼
Xn ^c 4 x e^c 4x ðiÞ ðiÞ þ e^c 4 x ðiÞ
1 e^c 4x ðiÞ
1
e^c 4x ðiÞ
ln
1
^c 4
(
i¼1
X n
i¼1
þ 1 n
i¼1
X n
i¼1
^c 4 x ðiÞ e^c 4x ðiÞ þ e^c 4 x ðiÞ
1
^c 4 ðe^c 4x ðiÞ
1Þ
ln
e^c 4x ðiÞ
1
^c 4
!#) 1
;
!"
ln p 4i
( ) 1=n ( !) ð 1=nÞ
^k 4 ¼
Yn Y n e^c 4x ðiÞ
1
p 4i
:
^c 4
i¼1
1 X n
n
i¼1
ln p 4i
Second, we can also estimate c and k via weighted least squares (WLS)
method (see [5,11]). For a ¼ 1; 2 and k ¼ 1; 2; 3, let
K ak ðc; kÞ ¼ Xn
W aki lnð lnð1 p ki ÞÞ ln k ln ecx ðiÞ 2
1
c
i¼1
and
K 34 ðc; kÞ ¼ Xn
i¼1
W 34i
ln p 4i
ln k ln ecx ðiÞ 2
1
;
c
where
W 1ki ¼fð1 p ki Þ lnð1 p ki Þg 2 ;