Ask seic Majhmatik c Logik c 11

Ask seic Majhmatik c Logik c 11Ελέγξτε την ορθότητα των λύσεων σας με το πρόγραμμα Pandora (www.doc.ic.ac.uk/pandora) ή New Pandora (www.doc.ic.ac.uk/pandora/newpandora).Μερικές από τις αποδείξεις που κάνετε μπορεί να σας χρησιμεύσουν σε άλλες,πιο σύνθετες αποδείξεις. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μια απόδειξη ως λήμμα σεμία άλλη απόδειξη.Τέλος στις παρακάτω αποδείξεις δεν μπορείτε να χρησιμοποιήσετε ισοδυναμίες.1. Δείξτε τα παρακάτω με κανόνες φυσικής συμπερασματολογίας.(αʹ) ∀x sumpajei(x, Kwstac), ∀x(¬(x=Fanh) → ¬sumpajei(Kwstac, x))Kwstac=Fanh.(βʹ) a=b ∨ a=c, a=b ∨ c=b, P (a) ∨ P (b) ⊢ P (a) ∧ P (b).Συμβουλή: σκεφτείτε αν a=b.(γʹ) ∀x[x=a ∨ x=b], g(a)=b, ∀x∀y[g(x)=g(y) → x=y] ⊢ g(g(a))=a.Συμβουλή: χρησιμοποιήστε τον κανόνα ∨E στην πρώτη πρόταση αντικαθιστώνταςτην x με τον όρο g(b).(δʹ) ∀x∀y∀z[R(x, y) ∧ R(x, z) → z=y], R(a, b), ¬(b=c) ⊢ ¬R(a, c).(εʹ) ∀x[x=a ∨ x=b], ¬P (b), Q(a) ⊢ ∀x[P (x) → Q(x)].2. Δείξτε με κανόνες φυσικής συμπερασματολογίας ότι(α), (β), (γ), (δ), (ε) ⊢ (στ).(α) ∀x[∀y[child(y, x) → fly(y)] ∧ dragon(x) → happy(x)].(β) ∀x[green(x) ∧ dragon(x) → fly(x)].(γ) ∀x[∃y[parent(y, x) ∧ green(y)] → green(x)].(δ) ∀z∀x[child(x, z) ∧ dragon(z) → dragon(x)].(ε) ∀x∀y[child(y, x) → parent(x, y)].(στ) ∀x[dragon(x) → (green(x) → happy(x))].happy(x) διαβάζεται ως “ο x είναι ευτυχισμένος”.fly(x) διαβάζεται ως “το x πετάει”.dragon(x) διαβάζεται ως “το x είναι δράκος”.child(x, y) διαβάζεται ως “το x είναι παιδί του y”.green(x) διαβάζεται ως “το x είναι πράσινο”.parent(x, y) διαβάζεται ως “το x είναι γονιός του y”.3. Δείξτε τα παρακάτω με κανόνες φυσικής συμπερασματολογίας.(i) Q(c) ⊢ ∀x∃y(P (x) ∨ Q(y)).(ii) Q(c) ⊢ ∃y∀x(P (x) ∨ Q(y)).(iii) ∀x(A(x) → B(x)) ⊢ ∀xA(x) → ∀xB(x).(iv) ∀xF (x) ∨ ∀xG(x) ⊢ ∀x(F (x) ∨ G(x)). (Το αντίστροφο δεν ισχύει.)(v) ∀x[P → Q(x)] ⊢ P → ∀xQ(x).(vi) ∃x[P → Q(x)] ⊢ P → ∃xQ(x).(vii) ∃x[P (x) → Q] ⊢ ∀xP (x) → Q.⊢1

(viii) ∀x[P (x) → Q] ⊢ ∃xP (x) → Q.(ix) ∃xP (x) → Q ⊢ ∀x[P (x) → Q].(x) ∀x∀yF (x, y) ⊢ ∀u∀vF (v, u).(xi) ∀x[F (x) ∨ G(x)] ⊢ ∀xF (x) ∨ ∃yG(y).(xii) ∀x∀y[∃z[P (x, z) ∧ P (z, y)] → Q(x, y)], P (a, b), P (b, c), P (b, d)∃wQ(a, w).⊢2