Delta Function - Gauge-institute.org

Gauge Institute Journal, Volume 8, No.2, May 2012H. Vic Dannon−1ωz=∞ ωy=∞ ωx=∞1i( ωxx+ ωyy+ωzz)x y z 3x y z x y z(2 π)ω =−∞ ω =−∞ ω =−∞{ } = ∫ ∫ ∫F F( ω , ω , ω ) F( ω , ω , ω ) edω dω dωz y xν =∞ ν =∞ ν =∞z= ∫ ∫ ∫yν =−∞ ν =−∞ ν =−∞z y xx2 πi( νxx+ νyy+νzz)F(2 πν ,2 πν ,2 πν ) e dν dν d ν ,x y z x yzωωωxyz= 2πν= 2πν= 2πνxyz8.4 3-Dimesional Fourier Integral Theoremωz=∞ ωy=∞ ωx=∞ ⎛ ζ=∞ η=∞ ξ=∞⎞1−iωξ x−iωη y−iωζzfxyz ( , , ) = f( ξηζ , , ) e ddd ξ ηζ3 ∫ ∫ ∫ ×(2 π)∫ ∫ ∫ω =−∞ ω =−∞ ω =−∞⎜⎝ζ=−∞ η=−∞ ξ=−∞⎠⎟z y xxi( ω x+ iω y+iωz)x y z× e d d dyω ω ωx y zζ=∞ η=∞ ξ=∞ ⎛ ω1 x =∞⎞ ⎛ ωy=∞⎞iω( ) 1iy( y )(, , )xx−ξω −η= ∫ ∫ ∫ f ξηζ e dω 2xdξ e dω 2yη×π∫ π∫ ζ=−∞ η=−∞ ξ=−∞ ⎜ d⎝ ω =−∞ ⎠⎟ ⎜⎝ ω =−∞⎠⎟⎛ ωz=∞⎞ 1iωz( z−ζ)e dω×⎜⎜zζ2π∫d⎜⎝ ω =−∞ ⎠⎟ζ=∞ η=∞ ξ=∞ ⎛ νx=∞⎞ ⎛ νy=∞⎞2 πν i ( )2 iy( y )( , , )xx−ξπν −η= ∫ ∫ ∫ f ξηζ e dν xdξ e dν ydη×∫ ∫ζ=−∞ η=−∞ ξ=−∞ ⎝⎜ ν =−∞ ⎠⎟ ⎜⎝ν=−∞⎠⎟xyz⎛ νz=∞⎞ 2 πν iz( z−ζ)e dν×⎜⎜zdζ∫ ,⎜⎝ν=−∞⎠⎟zωωωxyz= 2πν= 2πν= 2πνxyz29