Contrastes de hipótesis - Universidad Politécnica de Cartagena

Tema 7: Contrastes - inferencia para la media 25Universidad Politécnica de CartagenaDpto. Matemática Aplicada y EstadísticaEstadísticaTema 7: Contrastes - inferencia para la media1. Se quiere estudiar la vida media µ de tubos fluorescentes producidos en unaempresa. Por experimentos anteriores, se piensa que la desviación típica de lapoblación es 120h. Al extraer una muestra de 100 tubos, se encuentra una mediamuestral de 1.570 h. (a) Contrastar la hipótesis de que µ = 1.600 h, frente a laalternativa µ ≠1.600; (b) Idem., frente a la alternativa µ 0.25, estadístico de prueba: z 0 = 1.48d)H 0 : µ = 1000; H 1 : µ > 1000, estadístico de prueba: z 0 = 1.59e)H 0 : µ = 1000; H 1 : µ < 1000, estadístico de prueba: z 0 = −0.23

26 Tema 7: Contrastes - inferencia para la media6. Se quiere determinar si unos detectores de radón ( un gas inodoro y incoloroligeramente radioactivo) son fiables. Para ello, se colocan 12 de estos detectoresen una cámara y se exponen durante 3 días a 105 picoCuries por litro de radón.Los datos obtenidos son los siguientes:91.9 97.8 111.4 122.3 105.4 95.0103.8 99.6 96.6 119.3 104.8 101.7Supongamos que sabemos que la desviación típica de las mediciones para este tipode detectores es σ = 9, y que podemos utilizar una distribución normal.a) Construir un intervalo de confianza al 95% para el valor promedio de radonproporcionado por este tipo de detectores.b) ¿Podemos afirmar que este valor promedio difiere significativamente al 95% delvalor real 105? Compare el resultado obtenido con el apartado anterior?7. Se quiere comprobar que el contenido promedio de los botellines envasados poruna fábrica no es menor que 300ml. Suponemos que los datos provienen de unapoblación que se puede considerar normal con σ = 3. Se plantea la extracción deuna muestra de tamaño 6 y la realización de un contraste al 95% de confianza.a)Calcular la potencia del test contra la alternativa µ = 299.b) Misma pregunta contra la alternativa µ = 295.c) ¿La potencia del test contra la alternativa µ = 290 será mayor o menor que elvalor obtenido en el apartado b). ?8. Estamos diseñando una secuencia de calibración de un peso. Para ello, mediremosun patrón cuyo peso sabemos es igual a 10g. Suponemos que la distribución de loserrores cometidos sigue una distribución normal con desviación típica 0.3g.a) Pensamos realizar 5 mediciones, y plantear un contraste al 95% de confianzapara probar si el aparato es exacto ( es decir si la media de los valores proporcionadoses igual al valor real 10). Calcular la potencia del test contra la alternativaµ = 10.25g. ¿Le parece adecuado nuestro procedimiento para detectar un error demedición del orden de 0.25g?b) Contestar a la pregunta anterior si pensamos realizar 12 mediciones.9. Una empresa de transportes desconfía de la afirmación de que la vida útil promediode ciertos neumáticos es al menos de 28.000 Km. Para verificar la afirmación, secolocan 40 de estos neumáticos en sus camiones, obteniendo una vida útil promediode 27.463 Km con una desviación estándar muestral de 1.348 Km. ¿Qué se puedeconcluir de ese dato si la probabilidad de cometer un error de Tipo I es a lo sumode 0.01?

Tema 7: Contrastes - inferencia para la media 2710. Para reducir la concentración de ácido úrico en la sangre, se prueban dos medicamentos,reduciéndose las concentraciones de ácido úrico en los distintos pacientes,hasta los siguientes niveles porcentuales:Medicamento I : 20, 12, 16, 18, 13, 22, 15, 20Medicamento II : 17, 14, 12, 10, 15, 13, 9, 19, 20, 11(a) Basándose en los anteriores resultados, proporcionados por las muestras ysupuesta las dos poblaciones normales e independientes, ¿puede afirmarse que e-xiste una diferencia significativa entre las reducciones promedio de concentraciónde ácido úrico proporcionadas por ambos tratamientos? (Tomar α=0.05)(b) Construir los correspondientes intervalos de confianza al 95% y verificar si losresultados obtenidos concuerdan con los del apartado anterior.11. (Diciembre 98) En un laboratorio de I+D se estudia la velocidad de combustiónde tres tipos de combustibles sólidos A, B y C. El estudio consta de dos etapas.En un primer estudio, se trata de determinar qué combustibles presentan unavelocidad de combustión en promedio mayor de 50 cm/s. Posteriormente se intentaverificar si existen diferencias entre los combustibles que superaron la primera etapadel estudio. Los resultados obtenidos fueron:CombustibleT am.MuestraMediamuestralvarianzamuestralA 25 51.3 3.9B 25 51.5 4.5C 25 50.4 3.1Suponiendo que la distribución de los tiempos es normal , se pide:a)Realizar la primera etapa del estudio, es decir, seleccionar qué combustiblespresentan una velocidad de combustión promedio mayor de 50cm/s.b)Realizar la segunda etapa del estudio, es decir, detectar si existen diferenciassignificativas entre los combustibles que superaron la primera etapa.c)Redactar en pocas líneas las conclusiones que se desprenden del estudio.12. (Adaptado Junio 99) Se analizan dos catalizadores para determinar la forma enque afectan el rendimiento de un proceso químico. El catalizador 1 es el que seviene empleando en la fábrica y se quiere averiguar si se puede sustituir por elcatalizador 2, más barato, pero que, según el fabricante, no provoca un descensodel rendimiento. Se llevan a cabo 8 reacciones para cada uno de los catalizadoresobteniendo, para el catalizador 1 ¯x 1 = 92.25, y s 2 1 = 5.69 mientras que para elcatalizador 2 : ¯x 2 = 92.73, y s 2 2 = 8.90.

28 Tema 7: Contrastes - inferencia para la mediaSe suponen normales las variables de interés. Después de definir la(s) población(es),la(s) variable(s), los parámetros de interés, contestar a la pregunta siguiente: ¿Escierto que no se puede afirmar que el rendimiento medio del catalizador 2 es menorque el rendimiento medio del catalizador 1? ¿Es aconsejable realizar el cambio decatalizador?13. (Adaptado del problema IV.2 de Diciembre 99) Para calibrar un instrumento demedición, se mide repetidas veces un patrón cuyo peso sabemos igual a 10 gramos.Los valores medidos siguen una distribución normal de media desconocida.a)Se mide el patrón cinco veces. La media de las cinco mediciones es igual a10.0023 gramos y la desviación típica muestral es igual a 0.0002 gramos. Construirun intervalo de confianza para la media poblacional al 98% de confianza.b) Queremos determinar si nuestro aparato de medición sobrevalora el peso real.Plantea el contraste de hipótesis correspondiente y llévalo a cabo con los datos delapartado (a).