Quadrature

Quadrature n ◦ 76 (2010) 30–38c○ EDP Sciences, 2010DOI: 10.1051/quadrature/2010005[Arithmétique]Les nombres brésilienspar Bernard SchottRésumé.Les nombres brésiliens sont une curiosité qui amuse les amateurs d’Olympiades mathématiques.Cet article reprend la notion, décrit quelques propriétés élémentaires de ces nombres, puis exploreles différents liens avec d’autres concepts arithmétiques. Au fil des paragraphes, il s’intéresse àla question de la primalité, au cas particulier des nombres repunits et développe même quelquesarguments de théorie analytique des nombres.L’Amérique du Sud est non seulement la patriedes footballeurs virtuoses, mais également une terreoù fleurissent des nombres bien particuliers :• Les nombres colombiens ou auto-nombres sontdes entiers, qui, dans une base donnée, nepeuvent pas s’écrire sous la forme m + S (m),où m est un entier, appelé générateur, et S (m)la somme des chiffres de l’entier m danscette base 1 . Ces nombres ont été introduits en1949 par le mathématicien indien DattatreyaRamachandra Kaprekar (1905–1988). Parexemple, 2009 n’est pas colombien en base 10car 2009 = 1990 + 1 + 9 + 9 + 0, mais 2007 l’est(vérification laissée au soin du lecteur).• Les nombres brésiliens, qui font l’objet de cetarticle, ont pour définition : un entier n > 0 estdit brésilien s’il existe un entier b, vérifiant 1 0 est dit « brésilien » 3 s’il existeun entier b vérifiant 1 < b < n−1, pour lequel la représentationde n en base b s’écrit avec des chiffres touségaux. Montrer que 1994 est brésilien et que 1993 nel’est pas. »Clairement, b > 1 car il n’existe pas de systèmede numération utilisant la base 1, et de plus, b < n − 1,sinon tout nombre n serait brésilien car s’écrivantn = (11) n−1 .3 Dans l’énoncé initial proposé en espagnol, le qualificatifutilisé était « sensato », ce qui se traduit littéralement parnombres « sensés » ; la traduction anglaise est devenue « sensible »numbers.Article publié par EDP Sciences