Quadrature

Théorème 1. Si n > 7 n’est pas brésilien, alors nest un nombre premier ou le carré d’un nombre premier.Ainsi, tout nombre pair supérieur ou égal à 8 estbrésilien.→ Tout nombre pair supérieur ou égal à 8 estbrésilien.Si n 8, alors, n = 2k = 2(k − 1) + 2 = (22) k−1avec k − 1 > 2 i.e. k > 3 i.e. k 4.→ Tout nombre impair s’écrivant n = ak, aveca 3etk > a + 1, est brésilien, car n = ka =(k − 1)a + a = (aa) k−1 .On en déduit qu’il existe une infinité de nombres brésiliens(suite des nombres pairs 8).Notons que la réciproque du théorème 1 estfausse, par exemple : 31 = (111) 5 et 121 = (11111) 3sont brésiliens.On relève l’existence de nombres dans chacundes quatre sous-ensembles suivants : nombres premierset brésiliens, nombres premiers et non brésiliens,nombres composés et brésiliens, nombres composéset non brésiliens. Ces quatre ensembles formentd’ailleurs une partition de N \{0, 1} dont les premierséléments apparaissent dans le tableau ci-dessous.Entiers brésiliens non brésilienspremiers 7, 13, 31, 2, 3, 5, 11,43, 73, 127,... 17, 19,...composés 8, 10, 12, 4, 6, 9,14, 15, 16,... 25, 49,...Il existe donc des nombres premiers ou composés quisont soit brésiliens, soit non brésiliens. Il paraît légitimed’essayer de caractériser les nombres qui sont àla fois premiers et brésiliens, puis ceux qui sont composéset non brésiliens.IV Les nombres premiersdans la jungle brésilienneSoit donc p premier et brésilien. Alors, la recherchede m, b et q dans N ∗ vérifiant l’équation (1)implique m = 1etp = 1 + b + b 2 + ...+ b q−1 .Ainsi,tout nombre premier et brésilien p supérieur ou égalà 7 est un nombre formé de 1 répétés q fois dans unebase b.Définition. Un nombre ne s’écrivant qu’avec deschiffres 1 dans une certaine base s’appelle un entierpolymonadique ou encore repunit (rep-unit, répunit) 7 .7 OEIS : suite A053696.Nous adopterons la notation suivante pour les repunitsafin d’alléger le texte :[R(q)] b = (11 }{{} ...111) b .q foisRappel du théorème sur la division desrepunits. Si s divise q, alors le repunit s’écrivantavec s chiffres divise le repunit qui en comprend q,c’est-à-dire que [R(s)] b divise [R(q)] b .Démonstration. En effet, si q = st, alors :[R(q)] b= bq − 1[R(s)] b b s − 1 = bs(t−1) + b s(t−2) + ...+ b s + 1ce qui conclut.⊓⊔On en déduit ce corollaire sur les repunitspremiers :Corollaire. Si p = [R(q)] b est premier, alors nécessairementq est premier.De plus, ici, q doit être premier impair, sinonq = 2, or p = (11) b n’est pas brésilien. En conclusion,tout nombre premier brésilien p est de la forme :p = [R(q)] b = 1 + b + b 2 + ...+ b q−1 = bq − 1b − 1= (11 }{{} ...111) b . (5)q foisOn peut alors énoncer :Théorème 2 (nombres premiers brésiliens).Tout nombre premier et brésilien p supérieur ou égalà 7 est un repunit qui s’écrit avec un nombre premierimpair de 1 dans une base b.Remarquons que la réciproque du théorème 2 estfausse : un repunit peut s’écrire avec un nombre premierde 1 sans être premier. Le plus petit contreexempleen base 10 est 111 = 3 × 37. On ignore s’ilexiste une infinité de premiers brésiliens.V Les repunits premiersde la forêt amazonienneIl nous faut rechercher les entiers polymonadiquess’écrivant avec un nombre premier impair de chiffres 1dans une base b, et qui sont premiers en base 10. Nousallons d’abord considérer quatre cas particuliers : b =10, b = 2, puis b = q, etb premier avant d’aborderle cas général b 2. Enfin, nous établirons quelquespropriétés vérifiées par ces repunits premiers.32 Quadrature n ◦ 76