Quadrature

en 1737 que la somme des inverses des nombres premierstendait vers l’infini. La conjecture des nombrespremiers jumeaux, nombres tels que p et p + 2soientpremiers, stipule qu’il existe une infinité de nombrespremiers jumeaux, mais Viggo Brun a démontré en1919 que la série des inverses des nombres premiersjumeaux convergeait.Nous ignorons s’il existe une infinité de nombrespremiers brésiliens, mais que peut-on dire de lasomme des inverses de ces mêmes nombres premiersbrésiliens ?Sachant que l’on est confronté ici à un doubleproblème :1. La représentation p = 1 + b + b 2 + ...+ b q avecb, q 2etq+1 premier n’est pas toujours unique.Par exemple, 31 = 1+2+2 2 +2 3 +2 4 = 1+5+5 2 .2. Les entiers b et q dépendent de p.On peut alors raisonner comme suit 23 :SoitN 1un entier fixé. Pour chaque nombre premier brésilienp N, il existe un entier b 2etunentierq 2telsque p b q de sorte que :∑pNp brésilien1 ∑p =b q Nb,q2∑2b √ N1b q ∑2b √ N(1b − 1 − 1 )b1b 2 × 11 − 1/b= 1 − 1 [ √N] < 1.On est en mesure d’énoncer le résultat qui suit :Théorème 4 (la constante des nombres premiersbrésiliens). La série des inverses desnombres premiers brésiliens est convergente, et cette« constante des nombres premiers brésiliens » estcomprise 24 entre 0, 3 et 1.Pour finir, en complément aux nombres deMersenne étudiés dans ce chapitre, examinons rapidementà la loupe brésilienne deux autres ensemblesde nombres historiques :Proposition 3. Les nombres de Fermat premierssont non brésiliens, et les nombres de Fermat composéssont tous brésiliens.Démonstration. Supposons que F n soit premier etbrésilien. Alors on aurait :1 + 2 2n = 1 + b + ...+ b q−1avec q premier impair, ce qui impliquerait queb ( 1 + b + ...+ b q−2) = 2 2n . Ainsi, il existerait r 123 Démonstration proposée par Olivier Bordellès.24 La somme des inverses des quatorze plus petits premiers brésiliens(paragraphe 5.5) est supérieure à 0,32.tel que b = 2 r . Puisque b est pair, l’entier 1 + b +...+ b q−2 serait donc impair, et b ( 1 + b + ...+ b q−2)ne pourrait jamais être une puissance de 2, d’oùcontradiction.Supposons maintenant que F n soit composé. Onsait que tout nombre de Fermat n’est jamais égal à unepuissance strictement supérieure à 1 de nombre premier25 , donc en particulier F n n’est jamais un carré denombre premier. Suite au théorème 1, siF n est composé,F n n’étant pas un carré, alors F n est brésilien.La proposition est démontrée.⊓⊔Je propose cette conjecture relative aux nombrespremiers de Sophie Germain 26 :Conjecture 1. Aucun nombre premier de SophieGermain n’est brésilien. 27Il est temps de s’intéresser maintenant au carré desnombres premiers.VI Les nombres composésnon brésiliensÀ la suite du théorème 1, on vérifie que 4, 9, 25et 49 ne sont pas brésiliens. Peut-on généraliser ce résultatpour tous les carrés de nombre premier ?VI.1Une nouvelle équation diophantienneIl nous faut résoudre l’équation suivante :p 2 = m(1 + b + b 2 + ...+ b n ) (7)m | p 2 donc m ∈{1, p, p 2 } avec 1 m < b < p 2 − 1