Vaje 2 Funkcije več spremenljivk 2)

Vaje 2: Funkcije več spremenljivk
Naloge na vajah:
Nivojnice in definicijsko območje
1. Poišči in skiciraj definicijsko območje funkcij
f (x, y) =
√
4x − y
2
ln (1 − x 2 − y 2 )
in g (x, y) = ln (x ln (y − x)) .
2. S pomočjo nivojnic skiciraj grafa funkcij
f (x, y) =
1
x 2 + y 2 in g (x, y) =
x
x 2 + y 2 .
3. Naj bo funkcija f : R 3 → R definirana s predpisom f (x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 − 1.
Graf funkcije f predstavi z nivojnicami in skiciraj prerez grafa nad ravnino z = 0.
4. Naj bo funkcija f podana spredpisom
f (x, y) = arcsin ( 2y ( 1 − x 2) − 1 ) .
(a) Poišči in skiciraj definicijsko območje funkcije f.
(b) Graf funkcije f predstavi s pomočjo nivojnic. Nariši nivojnice N −
π , N 0, N π
2 2
ter nakaži trend pri nivojnicah N a za − π ≤ a ≤ π.
2 2
5. Dana je funkcija f (x, y) = y (x 2 − 1) .
(a) Graf funkcije f predstavi s pomočjo nivojnic.
(b) Skiciraj prerez grafa nad premico, ki poteka skozi točki A (−2, 1) in B (2, −1) .
(c) Kako bi po grafu funkcije f prišel iz točke A ′ (−2, 1, 3) v točko B ′ (2, −1, −3) ,
da se med potjo ne bi nikdar vzpenjal.
Krivulje v polarnih koordinatah
6. V ravnini skiciraj krivulje, ki so podane v polarni obliki r = f (ϕ) :
(a) r = 1;
(b) r = a |sin 2ϕ| , a > 0;
(c) r = a (1 − cos ϕ) , a > 0.
7. Lemniskata je množica točk v ravnini katerih produkt razdalj od gorišč F 1 (a, 0) in
F 2 (−a, 0), kjer je a > 0, je enak a 2 .
(a) Dokaži, da je lemniskata implicitno podana kot (x 2 + y 2 ) 2 = 2a 2 (x 2 − y 2 ) .
(b) S pomočjo polarnih koordinat skiciraj lemniskato.
1

8. Skiciraj krivulji, ki sta podani implicitno kot
(
x 2 + y 2) 2
= 2x
3
Zveznost funkcij dveh spremenljivk
in
(
x 2 + y 2) 2
= 2xy .
9. Ali so naslednje funkcije zvezne v točki (0, 0)?
10. Dokaži, da velja:
1. Izračunaj limiti
f (x, y) =
{
g (x, y) =
h (x, y) =
{ 2xy
; (x, y) ≠ (0, 0)
x 2 +y 2
0 ; (x, y) = (0, 0)
{
sin xy
lim
(x,y)→(0,0) xy
x 2 −y 2
x 2 +y 2 x sin
1
x 2 +y 2 ; (x, y) ≠ (0, 0)
0 ; (x, y) = (0, 0)
2x 2 y
x 4 +y 2 ; (x, y) ≠ (0, 0)
0 ; (x, y) = (0, 0)
= 1 in lim (1 + xy) 1
xy = e .
(x,y)→(0,0)
lim
x,y→0
sin 2 x sin 3 y
1 − cos (x 2 + y 2 )
in
(
lim 1 + sin 2 x ) y
x 2 +y 2 .
x,y→0
11. Določi medsebojni odnos števil n, m in p, da bo obstajala limita
lim
x,y→0
x m y n
(x 2 + y 2 ) p .
Samostojno reši: [1, Naloge: 456, 465, 470], [2, Naloge: 145, 170 , 174] in [3, IX.
Naloge: 65, 66, 68].
Primeri kolokvijskih in izpitnih nalog:
1. Določi in skiciraj definicijsko območje funkcije
√
2z − x2 − y
f (x, y, z) =
2 + 1
ln (1 − x 2 − y 2 − z 2 ) .
2. Funkcija dveh spremenljivk je podana s predpisom
(√ )
f (x, y) = arcsin x2 − y 2 − x .
(a) Poišči in skiciraj definicijsko območje funkcije f.
2

(b) Graf funkcije f predstavi z nivojnicami. Skiciraj nivojnice: N −
π
2 , N 0, N π
2 ter
nakaži trend še pri nivojnicah N a , kjer je − π 2 ≤ a ≤ π 2 .
3. Funkcija dveh spremenljivk je podana s predpisom
f (x, y) = −x + √ x 2 − y 2 .
(a) Poišči in skiciraj definicijsko območje funkcije f.
(b) Graf funkcije f predstavi z nivojnicami. Skiciraj nivojnice: N −1 , N 0 , N 1 , ter
nakaži trend pri nivojnicah N a , kjer je a > 0 oziroma a < 0.
(c) Skiciraj prerez grafa nad abcisno osjo.
4. Funkcija dveh spremenljivk je podana s predpisom:
f (x, y) = arcsin 1 − xy .
x
(a) Poišči in skiciraj definicijsko območje funkcije f.
(b) Graf funkcije f predstavi z nivojnicami. Skiciraj nivojnice: N π , N − π , N 0,
2 2
N −
π , N π .
6 6
(c) S pomočjo diferenciala izračunaj približno vrednost f (1.1, 0.95) .
5. Naj bo f : R 2 → R funkcija. Predpostavimo, da je f (x, y 0 ) zvezna funkcija za vsak
y 0 ∈ R. Denimo, da obstaja L > 0, da funkcija f zadošča pogoju
|f (x, y 1 ) − f (x, y 2 )| ≤ L |y 1 − y 2 |
za vse (x, y 1 ) , (x, y 2 ) ∈ R 2 . Dokaži, da je f zvezna funkcija.
6. Funkcija dveh spremenljivk je podana s predpisom:
{ xy sin
1
; (x, y) ≠ (0, 0)
f (x, y) =
x 2 +y 2
a ; (x, y) = (0, 0)
(a) Določi število a tako, da bo funkcija f zvezna v točki (0, 0) .
(b) Ali je parcialni odvod ∂f zvezen v točki (0, 0)?
∂x
7. Funkcija dveh spremenljivk je podana s predpisom
{ xy ln (x
f (x, y) =
2 + y 2 ) ; (x, y) ≠ (0, 0)
a ; (x, y) = (0, 0)
(a) Določi število a tako, da bo funkcija f zvezna v točki (0, 0) .
(b) Ali je parcialni odvod ∂f zvezen v točki (0, 0)?
∂x
Literatura
[1] M. Dobovišek, M. Hladnik, M. Omladič: Rešene naloge iz Analize I, DMFA, Ljubljana
1992.
[2] B. Hvala: Zbirka izpitnih nalog iz analize, DMFA, Ljubljana 1996.
[3] P. Mizori-Oblak: Matematika II. del, Fakulteta za strojništvo, Ljubljana 1992.
3