Preguntas Test de Procesos Estocásticos - Departament de ...

♣ Al tener media nula, la función de autocorrelación
de X es R X (t 1 ,t 2 ) = E{X(t 1 )X(t 2 )}
y análogamente para Y (t). Además, por
tratarse de procesos incorrelados, C XY (t 1 ,t 2 )=
0 ó, de forma equivalente, E{X(t i )Y (t j )} =
m X (t i )m y (t j ) = 0. Por tanto,
R Z (t 1 ,t 2 ) = E{Z(t 1 )Z(t 2 )}
= E{(X(t 1 )+Y (t 1 )t 1 )
(X(t 2 )+Y (t 2 )t 2 )}
= R X (t 1 ,t 2 )+t 1 t 2 R Y (t 1 ,t 2 ) (a).
4. A partir de una variable aleatoria A con distribución
exponencial de parámetro λ, se define
el proceso estocástico X(t) :=Ae −At . Entonces
su media m(t), t>0, es:
(a) 1/A
(b) 1/λ
(c)
λ
(λ+t) 2
(d)
1
λ+t
♣ La función de densidad de A es f A (a) =λe −λt ,
t>0. Por tanto, utilizando el teorema de la
esperanza,
m X (t) = E(Ae −At )=
=
=
∫ ∞
∫ ∞
0
ae −at λe −λa da
λ
λ + t 0
a(λ + t)e −(λ+t)a da
λ
(λ + t) 2 (c).
donde hemos usado que una v.a. exponencial de
parámetro λ + t tiene media 1/(λ + t).
5. Sea Y una variable aleatoria uniforme en (0, 2).
A partir de ella, se define el proceso
X(t) =
{
Y, 0 ≤ t ≤ Y
0, en otro caso.
La media del proceso en t ∈ (0, 2) es:
♣ Como E{X(t)|Y = y} = y cuando y ≥ t y
E{X(t)|Y = y} = 0 cuando y ≤ t, obtenemos,
para t ∈ [0, 2]:
m X (t) = E{X(t)}
=
=
∫ ∞
E{X(t)|Y = y}f y (y) dy
−∞
∫ 2
y 1 [ ]
y
2 2
t 2 dy = 4
t
( ) t 2
=1− (c).
2
6. Dada la variable aleatoria T uniforme en (0, 2),
se define el proceso
{ t
X(t) = T , 0 ≤ t ≤ T
0, en otro caso.
♣
Entonces la media de X(t) en0