Diez lecciones sobre Sistemas Hamiltonianos, Integrabilidad y ...

Diez lecciones sobre Sistemas Hamiltonianos,
Integrabilidad y Separabilidad
Curso impartido en la Facultad de Matemáticas,
Dep. de Matemática Aplicada, U.P.C.,
Barcelona, Noviembre 2008
Manuel F. Rañada
Departamento de Física Teórica,
Facultad de Ciencias,
Universidad de Zaragoza
1. Simetrías y Constantes del movimiento
2. Ec. Dif. de Hamilton-Jacobi I
3. Ec. Dif. de Hamilton-Jacobi II
4. El problema de Kepler y el oscilador armónico
5. Sistemas Separables I
6. Sistemas Separables II
7. Sistemas super-Integrables
8. Ecuaciones de Lax
9. Retículo de Toda
10. Sistema de Calogero-Moser

ÍNDICE GENERAL
1 Simetrías y Constantes del movimiento 2
1.1 Constantes del movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Transformaciones puntuales y coordinadas cíclicas . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1 Transformaciones puntuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.2 Coordinadas cíclicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Grupos uni-paramétricos de transformaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Teorema de Noether I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.1 Transformaciones puntuales independientes del tiempo . . . . . . . . . . . 8
1.4.2 Conservación del momento lineal como caso particular del teorema de
Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.3 Conservación del momento angular como caso particular del teorema de
Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5 Teorema de Noether II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5.1 Transformaciones no puntuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5.2 Simetrías generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.6 Lagrangianos alternativos y constantes del movimiento . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.6.1 Lagrangianos alternativos uni-dimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.6.2 Lagrangianos alternativos con varios grados de libertad . . . . . . . . . . 20
2 Ec. Dif. de Hamilton-Jacobi I 23
2.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Ecuación de Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3 Sistemas con un grado de libertad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3.1 Ecuación de H-J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3.2 El Oscilador Armónico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.3 Variables acción-ángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3 Ec. Dif. de Hamilton-Jacobi II 30
3.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2 Separabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2.1 Separación de variables en la ecuación de H-J . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2.2 Partícula en el plano IE 2 bajo la acción de una fuerza central . . . . . . . 33

3.3 Variables acción-ángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.4 Geometría del espacio de fases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4 El problema de Kepler y el oscilador armónico 41
4.1 Órbitas cerradas y potenciales de Bertrand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.2 El problema de Kepler y el vector de Laplace-Runge-Lenz . . . . . . . . . . . . . 44
4.3 El oscilador armónico y el tensor de Fradkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.4 La hodógrafa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.4.1 La hodógrafa del problema de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.4.2 La hodógrafa del oscilador armónico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5 Sistemas Separables I 52
5.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.2 Potenciales separables en dos dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.2.1 Teorema de Bertrand-Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.2.2 Comentarios y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.2.3 Casos particulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.3 Coordenadas Ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.3.1 Propiedades generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.3.2 Coordenadas Cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.3.3 Coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.3.4 Coordenadas elípticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.3.5 Coordenadas parabólicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.3.6 Relación entre los cuatro sistemas de coordenadas . . . . . . . . . . . . . 60
5.4 La Ec. de H-J de nuevo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.4.1 Separabilidad de la Ec. de H-J: Coordenadas Cartesianas . . . . . . . . . 60
5.4.2 Separabilidad de la Ec. de H-J: Coordenadas Polares . . . . . . . . . . . . 61
5.5 Sistema de Hénon-Heiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.6 Sistemas Integrables con constantes cúbicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6 Sistemas Separables II 67
6.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.2 Sistemas de Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.3 Sistemas de Stäckel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.4 Condición de Levi-Civita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.5 Webs, vectores de Killing y tensores de Killing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.5.1 Vectores de Killing y Simetrías de Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.5.2 Webs y Tensores de Killing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.5.3 Tensores de Killing de valencia p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
i

7 Sistemas super-Integrables 79
7.1 Super-integrabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7.2 Sistemas super-separables en el plano Euclídeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
7.2.1 Separabilidad múltiple en el plano Euclídeo . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
7.2.2 Superintegrabilidad via Ec. en Deriv. Parc. . . . . . . . . . . . . . . . . 81
7.2.3 Resumen y comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
7.3 Super-integrabilidad del oscilador armónico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
8 Ecuaciones de Lax 89
8.1 Ecuaciones de Lax y Pares de Lax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
8.1.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
8.1.2 Pares de Lax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
8.2 Ecuaciones de Lax y evoluciones isoespectrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
8.2.1 Evoluciones isoespectrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
8.2.2 Propiedades y comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
8.3 Ecuación de Yang-Baxter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
8.3.1 Álgebras de Lie y ecuación de Yang-Baxter . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
8.3.2 Pares de Lax y ecuación de Yang-Baxter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
9 Retículo de Toda 97
9.1 Retículo de Toda I : Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
9.2 Reticulo de Toda II : Sistema de n = 3 partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
9.3 Reticulo de Toda III : Sistema de n partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
10 Sistema de Calogero-Moser 103
10.1 Sistema de Calogero-Moser I: Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
10.2 Sistema de Calogero-Moser II : Sistema de tres partículas . . . . . . . . . . . . . 104
10.3 Sistema de Calogero-Moser III: Sistema de n partículas . . . . . . . . . . . . . . 106
10.4 Sistemas de tipo Calogero-Moser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
ii

Bibliografía 1
Bibliografía
[AbrMar] Ralph Abraham, Jerrold E. Marsden, Foundations of mechanics, 806 pp. (Benjamin/Cummings
Pub., 2nd ed., 1978).
[Arnold] Vladimir I. Arnold, Mathematical methods of classical mechanics, Graduate Texts
in Mathematics vol. 60, 516 pp. (Springer-Verlag, 2da ed., 1990)
[MaSaSi] G. Marmo, E.J. Saletan, A. Simoni, B. Vitale, Dynamical systems: A differential
geometric approach to symmetry and reduction, 377 pp. (J. Wiley, Chichester,
1985).
[OlPe81] M.A. Olshanetsky, A.M. Perelomov, “Classical integrable finite-dimensional
systems related to Lie algebras”, Phys. Rep. 71, no. 5, 313–400 (1981).
[Perelom] A.M. Perelomov, Integrable systems of classical mechanics and Lie algebras, 307
pp. (Birkhauser Verlag, Basel, 1990)
[Tabor] M. Tabor, Chaos and Integrability on Nonlinear Dynamics, 364 pp. (J. Wiley, New
York, 1989)
[Vilasi] Gaetano Vilasi, Hamiltonian dynamics, 440 pp. (World Scientific, 2001).

Capítulo 1
Simetrías y Constantes del
movimiento
1. Constantes del movimiento
2. Transformaciones puntuales y coordinadas cíclicas
3. Grupos uni-paramétricos de transformaciones
4. Teorema de Noether I
5. Teorema de Noether II
6. Lagrangianos alternativos y constantes del movimiento
1.1 Constantes del movimiento
Consideremos un sistema de n grados de libertad caracterizado por un Lagrangiano L. Es
conocido que las soluciones de las ecuaciones de Lagrange
d
dt
∂L
∂ ˙qi
− ∂L
∂qi
= 0 , i = 1, 2, . . . , n,
se pueden interpretar geométricamente como las ecuaciones paraméricas qi = qi(t) de una familia
de curvas en el espacio de configuración Q y análogamente el par qi = qi(t), vi = vi(t), como las
ecuaciones de una familia de curvas en el espacio de fases T Q.
Digamos que una constante del movimiento es una función que satisface cierta propiedad
que pueden ser caracterizada de forma nalítica o de forma geométrica.
2

1.1. Constantes del movimiento 3
(i) Analíticamente: La función F = F (q, v, t) es constante del movimiento para un Lagrangiano
L si se cumple
d
dt
∂F
F =
∂qj
j
vj +
∂F
j
∂vj
dvj
dt
+ ∂F
∂t
= 0 ,
donde dvj/dt son las aceleraciones cuyo valor se deduce de las ecuaciones de Lagrange de
L.
(ii) Geométricamente: La función F = F (q, v, t) es constante del movimiento para un Lagrangiano
L si se mantiene invariante a lo largo de todas las curvas integrales que representan
geométricamente las soluciones de las ecuaciones de Lagrange de L.
En el caso (i) la letra t representa el tiempo y en el caso (ii) tiene un significado geométrico
y representa el parámetro de las curvas.
Supongamos que las m funciones
F1(q, v, t), F2(q, v, t), . . . , Fm(q, v, t),
son m constantes del movimiento distintas entre sí para un Lagrangiano L. Entonces toda
función G = G(q, v, t) que se pueda reescribir como funcón de las Fs, s = 1, 2, . . . , m,
también es constante del movimiento
dG
dt
G(F1, F2, . . . , Fm)
∂G
dFs
=
∂Fs dt
s
En este caso, en el que G es funcionalmente dependiente de las funciones F1, F2, . . . , Fm, la constante
del movimiento G no debe ser considerada realmente como una nueva constante sino como
una consecuencia de las anteriores. Si consideramos que una constante del movimiento ofrece
información sobre el sistema Lagrangiano, resulta que G no ofrece realmente nueva información.
Consecuencia: Es conveniente trabajar con funciones que sean funcionalmente independientes
y prescindir de todas aquellas constantes que no ofrezcan nueva información.
Esta situación plantea tres problemas:
(i) Caracterizar la independencia funcional de un conjunto de m constantes del movimiento.
(ii) Estudiar si el número de cantidades conservadas independientes es un número finito y
estudiar si las propiedades de un sistema Lagrangiano dependen del número máximo de
constantes del movimiento que posee.
(iii) Obtener un método que permita obtener explícitamente las constantes del movimiento que
posee un Lagrangiano L.
= 0 .

4 Capítulo 1. Simetrías y Constantes del movimiento
Empecemos con la cuestión (i).
Consideremos, en primer lugar, un conjunto de m funciones f1, f2, . . . , fm, definidas en IR n ;
esto es, fs = fs(x1, x2, . . . , xn), s = 1, 2, . . . , m. Diremos que estas m funciones son funcionalmente
independientes cuando las diferenciales sean independientes; esto significa que el producto
exterior de las m diferenciales dfs, s = 1, 2, . . . , m, debe ser no nulo
df1 ∧ df2 ∧ . . . ∧ dfm = 0 .
Más concretamente, el número de estas funciones que son funcionalmente independientes viene
dado por el rango r de la matriz de la diferencial [ Df ] definida de la forma
∂fs
[ Df ] =
∂xi
, s = 1, 2, . . . , m, i = 1, 2, . . . , n.
Consideremos ahora el caso de funciones constantes del movimiento como caso particular de
la situación general anterior. Sea L un Lagrangiano n-dimensional y supongamos conocidas m
integrales del movimiento K1, K2, . . . , Km. El número de estas funciones que son funcionalmente
independientes viene dado por el rango r de la matriz [ DK ] definida de la forma
∂Ks
[ DK ] =
∂qi
, ∂Ks
∂vi
, s = 1, 2, . . . , m, i = 1, 2, . . . , n.
Si el rango r vale r = m entonces el rango es máximo y las m funciones Ks, s = 1, 2, . . . , m, son
independientes.
Consideremos ahora la cuestión (ii).
Un sistema Lagrangiano con n grados de libertad posee a lo sumo 2n constantes del movimiento
independientes entre sí.
Más concretamente, el número máximo de constantes del movimiento independientes entre
sí viene dado por la dimensión del espacio de fases menos uno. Si nos limitamos a considerar
Lagrangianos L y cantidades conservadas K independientes del tiempo, como la dimensión de
T Q es 2n, entonces el número máximo m es m = 2n − 1; pero si el sistema depende del tiempo
entonces el espacio de fases es T Q × IR con coordenadas (qi, vi, t) y número máximo m será
m = 2n.
1.2 Transformaciones puntuales y coordinadas cíclicas
1.2.1 Transformaciones puntuales
Hemos visto, al estudiar el cálculo variacional, que un problema variacional consistente en buscar
las funciones yj(x) que hacen extremal un funcional de la forma
x2
J[y1, . . . , yn] =
x1
F [ x, y1, . . . , yn, y ′ 1, . . . , y ′ n ] dx

1.2. Transformaciones puntuales y coordinadas cíclicas 5
conduce a las ecuaciones de Euler asociadas
∂F
∂yi
− d
∂F
= 0 ,
dx
i = 1, . . . , n,
∂y ′ i
que mantienen invariante su carácter Euleriano cuando se efectúan cambios de la forma
(x, yi) → (x, zi), zi = zi(y, x), i = 1, . . . , n.
Análogamente, las ecuaciones de Lagrange, que son las ecuaciones de Euler asociadas al principio
de Hamilton, mantienen invariante su carácter Lagrangiano cuando se efectúan cambios de
coordenadas de la forma
(t, qi) → (t, q ′ i), q ′ i = q ′ i(q, t), i = 1, . . . , n.
Esto significa que las nuevas ecuaciones siguen siendo ecuaciones de Lagrange. Dicho de otra
forma, las ecuaciones transformadas son las ecuaciones de Lagrange del Lagrangiano transformado
L ′ que viene dado por
1.2.2 Coordinadas cíclicas
L ′ = L ′ (q ′ , v ′ , t) = L [ q(q ′ , t), v(q ′ , v ′ , t), t ]
Consideremos un sistema caracterizado por un Lagrangiano n-dimensional L = L(q, v, t) que
supongamos que no posee ninguna coordenada cíclica
∂L
∂qi
= 0 , i = 1, 2, . . . , n
lo cual significa que ninguno de los n momentos es cantidad conservada
pi = ∂L
,
∂vi
d
dt pi = 0 , i = 1, 2, . . . , n.
Puede ocurrir sin embargo que si efectuamos un cambio de la forma
q ′ i = q ′ i(q1, q2, . . . , qn, t), qi = qi(q ′ 1, q ′ 2, . . . , q ′ n, t), i = 1, . . . , n.
el nuevo Lagrangiano L ′ si posea alguna coordenada cíclica. Supongamos que q ′ k
L ′ , entonces el momento conjugado p ′ k es constante del movimiento
∂L ′
∂q ′ k
= 0 ,
d
dt p′ k = 0 ,
es cíclica para
Conviene relacionar el nuevo momento p ′ k con las antiguas coordenadas qi y los antiguos momentos
pi. El nuevo momento p ′ k viene dado por
p ′ k
= ∂L′
∂v ′ k
=
( ∂L
∂vi
i
)( ∂vi
∂v ′ ) .
k

6 Capítulo 1. Simetrías y Constantes del movimiento
Teniendo en cuenta la ley de transformación de las velocidades
obtenemos la siguiente relación
lo que conduce a
vi → v ′ i =
( ∂qi
p ′ k
=
i
∂vi
∂v ′ k
j
∂q ′ j
= ∂qi
∂q ′ k
) v ′ j + ∂qi
∂t ,
cki(q)pi , cki = ∂qi
∂q ′ .
k
El nuevo momento p ′ k es combinación lineal de los n momentos antiguos pi (con coeficientes que
dependen de las qs).
Consideremos, a modo de ejemplo, el oscilador armónico bi-dimensional isotrópico, es decir,
con los dos coeficientes k1 y k2 (o con las dos frecuencias ω1 y ω2) iguales entre sí
L = 1
2 m(v2 x + v 2 y) − 1
2 k(x2 + y 2 )
Es claro que ninguna de las dos coordenadas, x e y, son cíclicas y que por consiguiente ninguno
de los dos momentos se mantienen invariantes
d
dt px = 0 ,
d
dt py = 0 .
Consideremos este oscilador utilizando coordenadas polares
(x, y) → (r, φ), x = r cos φ , y = r sen φ ,
L = 1
2 m(v2 r + r 2 v 2 1
φ ) − 2 kr2
La coordenada angular φ es cíclica y por consiguiente el momento pφ es constante del movimiento
Teniendo en cuenta que
obtenemos la siguiente relación
pφ = mr 2 vφ ,
∂x
= −r sen φ = −y ,
∂φ
pφ =
∂x
px +
∂φ
d
dt pφ = 0 .
∂y
= r cos φ = x ,
∂φ
∂y
py = ypx − xpy .
∂φ
La constante del movimiento (que en este caso es el momento angular) es una combinación lineal
de los momentos px y py.

1.3. Grupos uni-paramétricos de transformaciones 7
1.3 Grupos uni-paramétricos de transformaciones
El objetivo de esta sección es el estudio de familias de transformaciones que dependen de una
forma continua de un cierto parámetro que denotaremos por ɛ.
Denominaremos familia uni-paramétrica de transformaciones del espacio de configuración Q,
a una aplicación F de Q × IR en Q
F : Q × IR → Q , (q, ɛ) ↦→ q ′ = F (q, ɛ)
tal que se cumple que la aplicación Fɛ definida de la forma
Fɛ : Q → Q , q ↦→ Fɛ(q) = F (q, ɛ)
es un difeomorfismo para todo valor del parámetro ɛ ∈ IR; esto es, existe la transformación
inversa F −1
ɛ : Q → Q tal que F −1
ɛ [Fɛ(q)] = q, y además tanto Fɛ como F −1
ɛ son diferenciables.
En coordenadas, escribiremos
q ′ j = Fj(q, ɛ) , j = 1, 2, . . . , n
Supondremos que la dependencia con respecto al parámetro ɛ es tal que esta familia tiene
estructura de grupo uni-paramétrico. Esto significa que se supone que se cumplen las dos
propiedades siguientes :
(i) Fj(q, 0) = qj, (ii) Fj[F (q, ɛ1), ɛ2] = Fj(q, ɛ1 + ɛ2).
La propiedad (i) indica que la transformación identidad I está contenida dentro de la familia
F y corresponde al valor particular ɛ = 0, y la propiedad (ii) indica que la aplicación sucesiva
de dos transformaciones pertenecientes a F es a su vez una transformación perteneciente a la
misma familia.
La familia F determina una familia uni-paramétrica de transformaciones F del espacio de
fases T Q
F : T Q × IR → T Q , (q, v, ɛ) ↦→ (q ′ , v ′ ) = F (q, v, ɛ) ,
que también tendrá estructura de grupo uniparamétrico y que en coordenadas vendrá dado por
ecuaciones de la forma
q ′ j = q ′ j(q, ɛ) , v ′ j = v ′ j(q, v, ɛ) , j = 1, 2, . . . , n .
Hemos visto que cuando ɛ = 0, la transformación F se reduce a la identidad en el espacio de
configuración Q; análogamente obtenemos ahora que cuando ɛ = 0 la transformación F se reduce
a la identidad en el espacio de fases T Q
q ′ j(q, 0) = qj , v ′ j(q, v, 0) = vj , j = 1, 2, . . . , n .
Para pequeños valores de ɛ la transformación F estará representada por unas ecuaciones de
la forma
q ′ j = qj + ɛ aj(q) + . . .

8 Capítulo 1. Simetrías y Constantes del movimiento
donde las funciones aj y bj vienen dadas por
aj =
v ′ j = vj + ɛ bj(q, v) + . . .
dq ′ j
dɛ
ɛ=0 , bj =
dv ′ j
dɛ
Las funciones aj dependerán de la transformación particular F que estemos considerando; en
cuanto a las bj serán de la forma
bj =
∂aj
vk .
∂qk
k
Estas 2n funciones (aj, bj) pueden interpretarse geométricamente como las 2n componentes de un
campo vectorial XF definido en el espacio de fases 2n-dimensional T Q. Si denotamos por X (T Q)
el conjunto de todos los campos vectoriales definidos en el espacio T Q entonces tendremos que
XF ∈ X (T Q × IR) estará determinado por sus 2n componentes
se denomina ”generador infinitesimal”
ɛ=0
XF → (a1, . . . , an, b1, . . . , bn)
(i) “infinitesimal” porque describe la acción de F (o F ) para pequeños valores de ɛ.
(ii) “generador” porque el conocimiento de XF permite, utilizando las propiedades asociadas a
la estructura de grupo de Lie, reconstruir la transformación F (o F ) para valores generales
de ɛ.
El campo vectorial determina un operador diferencial de la forma
XF ↦→
j
aj
∂
∂qj
+
que representaremos con la misma notación, esto es en lo sucesivo XF denotará tanto el campo
vectorial como el operador diferencial asociado. La acción de Xf sobre una finción f(q, v) vendrá
dada por
XF (f) =
1.4 Teorema de Noether I
j
aj ( ∂f
∂qj
j
) +
j
bj
∂
∂vj
bj ( ∂f
) .
∂vj
1.4.1 Transformaciones puntuales independientes del tiempo
Consideremos un Lagrangiano regular independiente del tiempo
L : T Q → IR , (q, v) ↦→ L = L(q, v)

1.4. Teorema de Noether I 9
y denotemos por Lɛ (en lugar de L ′ ) el Lagrangiano transformado
Lɛ(q ′ , v ′ ) = L[q(q ′ , ɛ), v(q ′ , v ′ , ɛ)]
En realidad el nuevo Lagrangiano Lɛ puede ser considerado no como un único Lagrangiano sino
como una familia uni-paramétrica de Lagrangianos, esto es, una familia de Lagrangianos que
depende de ɛ. La dependencia en ɛ es contínua y diferenciable y, por consiguiente, para pequeños
valores de ɛ Lɛ será de la forma
Lɛ = L + ɛ δL + . . .
donde δL, que representa el coeficiente del término lineal en ɛ, viene dado por
δL =
dL
dɛ
Diremos que el Lagrangiano permanece (o es) invariante bajo la transformación F si δL = 0.
(i) Alternativamente, también diremos que F es una simetría del Lagrangiano L
(ii) Es claro que el carácter de simetría es relativo. Una transformación F puede ser simetría
de un Lagrangiano L1 (δL1 = 0) y no serlo para L2 (δL2 = 0).
(iii) En realidad la transformación que preserva el Lagrangiano es la transformación F del
espacio de fases T Q. Pero, como F procede de F , la costumbre es simplificar la notación
y referirse directamente a F .
δL =
∂L
j
∂q ′ j
∂q ′
j
∂ɛ ɛ=0
δL =
∂L
j
∂qj
ɛ=0
∂L
+
j
aj +
∂L
∂vj
∂v ′ j
∂v ′
j
∂ɛ ɛ=0
bj
La modificación que sufre el Lagrangiano L bajo la transformación F viene dada por la
acción del operador diferencial XF sobre L
δL = XF (L)
Supongamos que la transformación F representa una simetría del Lagrangiano L. Entonces la
acción del generador infinitesimal XF sobre L es nula
XF (L) = 0.
Teorema 1 (Noether) Sea L un Lagrangiano regular independiente del tiempo. Supongamos
que L es invariante bajo un grupo uni-paramétrico de transformaciones puntuales del Espacio
de Fases T Q representado por las ecuaciones
q ′ j = q ′ j(q, ɛ)

10 Capítulo 1. Simetrías y Constantes del movimiento
que a nivel infinitesimal quedan de la forma
Entonces la función I = I(q, v) definida por
es constante del movimiento.
q ′ j = qj + ɛ aj(q) , j = 1, 2, . . . , n .
I =
( ∂L
)aj
∂vj
Recordemos, en primer lugar, que δL viene dado por
δL =
( ∂L
)aj +
∂qj
( ∂L
)bj .
∂vj
j
j
j
Es conveniente obtener una nueva expresión para el valor de δL; para ello reescribiremos el
segundo sumatorio de la derecha de una forma más adecuada
δL =
(
j
∂L
)aj +
∂qj
(
j,k
∂L
)(
∂vj
∂aj
)vk
∂qk
=
( ∂L
)aj +
∂qj
d
(
dt
∂L
)aj −
∂vj
d ∂L
( ) aj
dt ∂vj
de tal forma que, agrupando téminos, obtenemos
δL =
∂L
−
∂qj
d ∂L
( ) aj +
dt ∂vj
d
(
dt
∂L
)aj
∂vj
j
Es claro que el primer término de la derecha contiene a las Ecs. de Lagrange
∂L
∂qj
j
− d ∂L
( ) = 0 , j = 1, 2, . . . , n,
dt ∂vj
de lo que se deduce que la expresión de δL queda finalmente de la siguiente forma
δL = d
(
dt
∂L
)aj .
∂vj
j
Supongamos que la transformación q → q ′ es una simetría del Lagrangiano. Entonces se
cumple
δL = XF (L) = 0
y, por consiguiente, se deduce que
d
I = 0 , I = (
dt ∂L
)aj .
∂vj
Podemos afirmar que la función I es una constante del movimiento.
j
j
j
j
.

1.4. Teorema de Noether I 11
1.4.2 Conservación del momento lineal como caso particular del teorema de
Noether
Consideremos como espacio de configuración el espacio Euclídeo tridimensional y como transformación
de Q una familia uniparamétrica de traslaciones de la forma
q ′ 1 = q1 + ɛ , q ′ 2 = q2 + ɛ , q ′ 3 = q3 + ɛ .
Es claro que en esta caso a1 = a2 = a3 = 1 y el campo vectorial XT , generador infinitesimal de
las traslaciones, viene dado por
XT = ∂
+
∂q1
∂
+
∂q2
∂
.
∂q3
Supongamos que un Lagrangiano L de la forma
es invariante. Entonces se debe cumplir
L = 1
2 m(v2 1 + v 2 2 + v 2 3) − V (q1, q2, q3)
δT L = XT (L) = 0 ,
lo que conduce a la siguiente ecuación en derivadas parciales para el potencial
cuya solución es de la forma
q1( ∂V
) + q2(
∂q1
∂V
) + q3(
∂q2
∂V
) = 0
∂q3
V = V (q21 , q32 , q13) , qij = qi − qj , i, j = 1, 2, 3 .
A modo de ejemplo, los siguientes dos potenciales permanecen invariantes bajo el grupo de las
traslaciones
V = q 2 21 + q 2 32 + q 2 13 , V = 1
q2 +
21
1
q2 32
+ 1
q2 .
13
Si δT L = 0 entonces el teorema de Noether establece que existe una constante del movimiento
asociada I dada por
I = ( ∂L
)a1 + (
∂q1
∂L
)a2 + (
∂q2
∂L
)a3
∂q3
= mv1 + mv2 + mv3
Sea un Lagrangiano L invariante bajo traslaciones. Entonces el teorema de Noether establece
que le momento lineal total P = p1 + p2 + p3 es constante del movimiento.

12 Capítulo 1. Simetrías y Constantes del movimiento
1.4.3 Conservación del momento angular como caso particular del teorema
de Noether
Consideremos como espacio de configuración el espacio Euclídeo tridimensional y como transformación
de Q la familia uniparamétrica rotaciones alrededor del eje q3
q ′ 1 = (cos α)q1 + (sen α)q2
q ′ 2 = − (sen α)q1 + (cos α)q2
q ′ 3 = q3
Es claro que a1 = q2, a2 = −q1, y a3 = 0, y el campo vectorial XR, generador infinitesimal de
esta familia de rotaciones, viene dado por
XR = q2
∂
∂q1
− q1
∂ ∂
+ v2
∂q2 ∂v1
Supongamos que un Lagrangiano L de la forma
es invariante. Entonces se debe cumplir
− v1
∂
.
∂v2
L = 1
2 m(v2 1 + v 2 2 + v 2 3) − V (q1, q2, q3)
δRL = XR(L) = 0
lo que conduce a la siguiente ecuación en derivadas parciales para el potencial
cuya solución es de la forma
q2( ∂V
) − q1(
∂q1
∂V
) = 0 ,
∂q2
V = V (q 2 1 + q 2 2 , q3) .
A modo de ejemplo, los siguientes dos potenciales permanecen invariantes bajo rotaciones alrededor
del eje q3
V = F (q 2 1 + q 2 2) + G(q3) , V = F (q 2 1 + q 2 2)G(q3) ,
siendo F y G funciones arbitrarias.
Si δRL = 0 entonces el teorema de Noether establece que existe una constante del movimiento
asociada I dada por
I = ( ∂L
)a1 + (
∂v1
∂L
)a2 + (
∂v2
∂L
)a3
∂v3
= m (q2v1 − q1v2)
En resumen, si un Lagrangiano L es invariante bajo rotaciones alrededor del eje q3 entonces el
teorema de Noether establece que la tercera componente del momento angular L3 es constante
del movimiento.
Sea un Lagrangiano L invariante bajo rotaciones de ángulo arbitrario alrededor de un cierto
eje cuya orientación está representado por el vector n. Entonces el teorema de Noether establece
que la función g = L·n, proyección del momento angular L sobre n, es constante del movimiento.

1.5. Teorema de Noether II 13
Simetría −→ Cantidad conservada
Lagrangiano L invariante
bajo tralaciones −→ Momento lineal
Lagrangiano L invariante
bajo rotaciones −→ Momento angular
Tabla 1.1: Resumen estableciendo la correspondencia entre simetrías del Lagrangiano (izquierda)
y las constante de Noether asociadas (derecha)
1.5 Teorema de Noether II
1.5.1 Transformaciones no puntuales
Las transformaciones consideradas hasta el momento han sido transformaciones puntuales, esto
es, transformaciones definidas inicialmente en el espacio Q mediante ecuaciones de la forma
q ′ j = q ′ j(q, ɛ) , j = 1, 2, . . . , n ,
de las que luego se deduce la ley de transformación de las velocidades
Está claro que (i) las nuevas coordenadas q ′ j
v ′ j = v ′ j(q, v, ɛ) , j = 1, 2, . . . , n .
dependen únicamente de las antiguas coordenadas
dependen linealmente de las antiguas velocidades vi.
qi y que (ii) las nuevas velocidades v ′ j
Recordemos que las transformaciones puntuales son importantes porque preservan el carácter
Lagrangiano de las ecuaciones de Lagrange, esto es, transforman ecuaciones de Lagrange en
ecuaciones de Lagrange. Por el contrario las transformaciones que no son puntuales no preservan
en general el carácter Lagrangiano de las ecuaciones de Lagrange. Más aún, en el caso general,
las nuevas ecuaciones no suelen ser de segundo orden. Esto puede ser interpretado como que las
transformaciones no-puntuales no deben ser utilizadas en Mecánica Lagrangiana; sin embargo
existen sistemas Lagrangianos que poseen constantes del movimiento que pueden ser obtenidas
utilizando transformaciones no-puntuales.
Consideremos ahora un grupo uniparamétrico Φ de transformaciones no-puntuales del espacio
de fases
Φ : T Q × IR → T Q , (q, v, ɛ) ↦→ (q ′ , v ′ ) = Φ(q, v, ɛ)
representado por unas ecuaciones de la forma
q ′ j = q ′ j(q, v, ɛ) , v ′ j = v ′ j(q, v, ɛ) ,

14 Capítulo 1. Simetrías y Constantes del movimiento
tales que
q ′ j(q, 0) = qj , v ′ j(q, 0) = vj .
En esta caso las nuevas coordenadas q ′ j dependen de las antiguas velocidades y las nuevas velocidades
v ′ j dependen de las antiguas velocidades vj de una forma no necesariamente lineal. En
cualquier caso, para pequeños valores del parámetro ɛ se obtiene
q ′ j = qj + ɛ aj(q, v) + . . .
v ′ j = vj + ɛ bj(q, v) + . . .
de tal forma que las 2n funciones (aj, bj) determinan un campo vectorial XΦ definido en el
espacio de fases T Q de la siguiente forma
XΦ =
aj(q, v) ∂
j
∂qj
+
bj(q, v) ∂
que representa el generador infinitesimal del grupo uniparamétrico de difeomorfismos de T Q.
Contrariamente a lo que ocurría en el caso puntual, dado que las funciones aj dependen de las
velocidades, el campo vectorial XΦ no es proyectable sobre Q.
Una cambio de la forma qj → q ′ j que transforma ecuaciones diferenciales de segundo orden
en ecuaciones diferenciales de segundo orden se denomina Newtoniano. Por consiguiente las
transformaciones puntuales son todas Newtonianas. Sin embargo existen transformaciones no
Newtonianas pero que preservan el orden de una Ec. Dif. particular. Más concretamente,
diremos que la transformación (qi, vi) → (q ′ i , v′ i ) es Newtonoide con respecto a un sistema de Ec.
Dif. de segundo orden si las nuevas ecuaciones son también de segundo orden.
Conviene resaltar que una transformación que es Newtonoide con respecto a unas ecuaciones
Lagrangianas (obtenidas a partir de un Lagrangiano L) no lo será en general con respecto a
otras ecuaciones Lagrangianas (obtenidas a partir de otro Lagrangiano L = L).
Dada una Ec. Dif. de segundo orden
¨qj = fj(q, ˙q) , j = 1, 2, . . . , n,
que denotaremos por Df , y un conjunto de n funciones dependientes de las velocidades {ai(q, v) ; i =
1, 2 . . . , n} siempre se puede construir un grupo uni-paramétrico de transformaciones de T Q que
son Newtonoides con respecto a Df . El generador infinitesimal será el campo vectorial
donde hemos utilizado la notación
j
j
j
∂vj
XD =
aj(q, v) ∂
+
∂qj
Df (aj) ∂
,
∂vj
Df (aj) =
i
vi
∂aj
∂qi
+
i
fi(q, v) ∂aj
.
∂vi

1.5. Teorema de Noether II 15
1.5.2 Simetrías generalizadas
Definición 1 (quasi-Simetría) Sea {fj(q, v) ; j = 1, 2, . . . , n}, un conjunto de n funciones arbitrarias
y denotemos por Df el operador diferencial asociado
Df =
j
vj
∂
+
∂qj
fj(q, v) ∂
.
∂vj
La transformación dependiente de las velocidades q ′ j = q′ j (q, v, ɛ), representada a nivel infinitesimal
por
q ′ j = qj + ɛ aj(q, v) ,
es una quasi-simetría o simetría generalizada del Lagrangiano L si existe una función F (q, v)
tal que se satisface la siguiente igualdad
XD(L) = Df (F ) .
Esto significa que la función F tiene que satisfacer la siguiente ecuación
j
aj(q, v) ∂L
∂qj
+
j
Df (aj) ∂L
∂vj
cualesquiera que sean las n funciones fj(q, v).
j
=
j
vj
∂F
∂qj
+
j
fj(q, v) ∂F
.
∂vj
Teorema 2 (Noether III) Sea L un Lagrangiano regular del tiempo. Supongamos que L es
quasi-invariante, con función asociada F , bajo la transformación dependiente de las velocidades
q ′ j = q′ j (q, v, ɛ), que a nivel infinitesimal está representada por
Entonces la función I = I(q, v) definida por
es constante del movimiento.
Dos ejemplos
q ′ j = qj + ɛ aj(q, v) .
I =
( ∂L
)aj − F
∂vj
(1) Consideremos el L del oscilador armónico bi-dimensional
j
L = 1
2 (v2 x + v 2 y) − 1
2 ω2 (x 2 + y 2 )
y la transformación (x, y) → (x ′ y ′ ) dependiente de las velocidades
x ′ = x + ɛvy , y ′ = y + ɛvx .

16 Capítulo 1. Simetrías y Constantes del movimiento
Las funciones ax y ayvienen dadas por ax = vy y ay = vx; por consiguiente, si denotamos por
fx y fy dos funciones arbitrarias, el campo vectorial XD viene dado por
XD = vy
∂ ∂ ∂ ∂
+ vx + fy + fx .
∂x ∂y ∂vx ∂vy
Esta transformación será una simetría generalizada de L si existe una función F tal que la acción
de XD sobre L, que viene dada dada por
coincide con
XD(L) = vy(−ω 2 x) + vx(−ω 2 y) + fy vx + fx vy ,
Df (F ) = vx
∂F
∂x
+ vy
∂F
∂y
Igualando estas dos expresiones obtenemos la ecuación
−ω 2 (xvy) − ω 2 (yvx) + fy vx + fx vy = vx
que admite como solución la función F dada por
∂F ∂F
+ fx + fy
∂vx ∂vy
∂F
∂x
F = vxvy − ω 2 xy .
+ vy
∂F
∂y
∂F ∂F
+ fx + fy ,
∂vx ∂vy
Por consiguiente, esta transformación dependiente de las velocidades es una simetría generalizada
del Lagrangiano del oscilador armónico y, de acuerdo con el teorema de Noether, determina una
constante del movimiento I = I(x, y, vx, vy) dada por
∂L
∂L
I = ax + ay − F = vxvy + ω
∂vx ∂vy
2 xy .
(2) Consideremos el Lagrangiano del problema de Kepler bi-dimensional
LK = 1
2 (v2 x + v 2 k
y) − , k > 0
x2 + y2 y la siguiente transformación (x, y) → (x ′ y ′ ) dependiente de las velocidades
x ′ = x + ɛ(xvy − 2yvx) , y ′ = y + ɛxvx .
Las funciones ax y ayvienen dadas por ax = xvy − 2yvx y ay = xvx; por consiguiente, si
denotamos por fx y fy dos funciones arbitrarias, entonces el campo vectorial XD viene dado por
XD = (xvy − 2yvx) ∂ ∂
+ xvx
∂x ∂y − (vxvy + 2yfx − xfy) ∂
∂vx
de tal forma que la acción sobre L conduce a
XD(LK) = (xvy − 2yvx) ∂LK
∂x
+ xvx
∂LK
∂y − (vxvy + 2yfx − xfy) ∂LK
∂vx
+ (v 2 x + xfx) ∂
.
∂vy
+ (v 2 x + xfx) ∂LK
∂vy

1.6. Lagrangianos alternativos y constantes del movimiento 17
= k(xvy − yvx)x
(x 2 + y 2 ) 3/2 + fx (xvy − 2yvx) + fy (xvx) .
Esta transformación será una simetría generalizada de L si existe una función F tal que XD(L)
coincide con Df (F ) dado por
Df (F ) = vx
∂F
∂x
+ vx
∂F
∂y
Igualando estas dos expresiones obtenemos la ecuación
k(xvy − yvx)x
(x2 + y2 ) 3/2 + fx
∂F
(xvy − 2yvx) + fy (xvx) = vx
∂x
que admite como solución la función F dada por
F = (xvy − yvx)vx +
∂F ∂F
+ fx + fy
∂vx ∂vy
+ vy
ky
x 2 + y 2 .
∂F
∂y
∂F ∂F
+ fx + fy
∂vx ∂vy
Por consiguiente, esta transformación dependiente de las velocidades es una simetría generalizada
del Lagrangiano del problema de Kepler bi-dimensional y, de acuerdo con el teorema de Noether,
determina una constante del movimiento I = I(x, y, vx, vy) dada por
∂LK
I =
∂vx
ax +
∂LK
∂vy
ky
ay − F = (xvy − yvx)vx −
x2 + y2 .
Dado que el Lagrangiano LK es invariante bajo el intercambio (x, vx) ↔ (y, vy) se deduce
que la transformación
x ′ = x + ɛa ′ x , y ′ = y + ɛa ′ y , a ′ x = yvy , a ′ y = yvx − 2xvy ,
es también una simetría generalizada de LK con una constante del movimiento asociada I ′ dada
por
I ′
∂LK
= a
∂vx
′
∂LK
x + a
∂vy
′ y − F ′ kx
= (yvx − xvy)vy −
x2 + y2 .
1.6 Lagrangianos alternativos y constantes del movimiento
En las secciones anteriores hemos estudiado el teorema de Noether y sus aplicaciones. Este
teorema establece de forma precisa la idea de que las distintas constantes del movimiento que
pueda poseer un sistema Lagrangiano aparecen asociadas a simetrías exactas o generalizadas del
Lagrangiano. Siempre que se obtiene una constante utilizando la búsqueda de simetrías se dice
que se ha utilizado un enfoque ’a lo Noether’ o un procedimiento ’Noetheriano’.
En esta sección estudiaremos la existencia de procedimientos no Noetherianos para la obtención
de constantes del movimiento. Más concretamente demostraremos que la existencia de
estructuras alternativas determina la existencia de contantes del movimiento.

18 Capítulo 1. Simetrías y Constantes del movimiento
1.6.1 Lagrangianos alternativos uni-dimensionales
Estudiaremos en primer lugar el caso de sistemas Lagrangianos con un único grado de libertad.
Consideremos dos Lagrangianos L1(q, ˙q, t) y L2(q, ˙q, t) equivalentes en el sentido de que
(i) Los Lagrangianos son distintos, esto es, L1 = L2.
(ii) Las ecuaciones de Lagrange de L1 y L2 son distintas entre sí pero conducen a las mismas
soluciones.
En este caso se dice que los Lagrangianos L1 y L2 son “s-equivalentes” (la s es por solución)
o “alternativos”.
Consideremos en primer lugar las dos ecuaciones de Lagrange
d
∂L1
−
dt ∂ ˙q
∂L1
∂q
= 0 ,
d
∂L2
−
dt ∂ ˙q
∂L2
∂q
Si denotamos por Wa = Wa(q, ˙q, t), a = 1, 2, los Hessianos (derivadas segundas con respecto a
las velocidades)
W1 = ∂2 L1
y por Fa = Fa(q, ˙q, t), a = 1, 2, las funciones
∂ ˙q 2 , W2 = ∂2L2 ∂ ˙q
2 ,
= 0 .
F1 = ∂L1
∂q −
∂2
L1
˙q −
∂q ∂ ˙q
∂2L1 ∂t ∂ ˙q , F2 = ∂L2
∂q −
∂2
L2
˙q −
∂q ∂ ˙q
∂2L2 ∂t ∂ ˙q ,
entonces las ecuaciones para L1 y L2 quedarán de la siguiente forma
W1 ¨q = F1(q, ˙q, t) , W2 ¨q = F2(q, ˙q, t) .
Estas dos ecuaciones son distintas ya que W1 = W2 y F1 = F2; pero puesto que determinan
las mismas soluciones, deben coincidir cuando son simplificadas y se rescriben en forma normal.
Si despejamos las aceleraciones, obtenemos
¨q = 1
F1(q, ˙q, t) , ¨q =
W1
1
F2(q, ˙q, t) ,
W2
de tal forma que las dos funciones que aparecen en los términos de la derecha deben ser la misma
función. Por consiguiente se debe cumplir
1
W1
F1(q, ˙q, t) = 1
W2
F2(q, ˙q, t) .
Esto significa que la función f21, definida como el cociente entre W2 y W1,
W2 = f21 W1 ,

1.6. Lagrangianos alternativos y constantes del movimiento 19
debe satisfacer también la siguiente relación
∂2
L2
˙q +
∂ ˙q ∂q
∂2L2 ∂L2
−
∂ ˙q ∂t ∂q
= f21
Derivando esta ecuación con respecto a ˙q obtenemos
∂3L2 ∂ ˙q 2
˙q +
∂q
∂3L2 ∂ ˙q 2 ∂t
∂2
L1
˙q +
∂ ˙q ∂q
∂2
L1 ∂L1
− .
∂ ˙q ∂t ∂q
∂f21 ∂2
L1
= ˙q +
∂ ˙q ∂ ˙q ∂q
∂2
L1 ∂L1
∂3L1 − + f21
∂ ˙q ∂t ∂q
∂ ˙q 2
˙q +
∂q
∂3L1 ∂ ˙q 2
.
∂t
El término de la izquierda se puede reescribir de la siguiente forma
∂3L2 ∂ ˙q 2
˙q +
∂q
∂3L2 ∂ ˙q 2 ∂
= ˙q
∂t ∂q
∂2L2 ∂ ˙ q2
+ ∂
∂t
∂2L2 ∂ ˙ q2
= ˙q ∂ ∂
+ f21
∂q ∂t
∂2L1 ∂ ˙ q2
,
y el primer sumando de la derecha se puede simplificar utilizando las ecuaciones de Lagrange
para el Lagrangiano L1
con lo cual obtenemos
∂f21 ∂2
L1
˙q +
∂ ˙q ∂ ˙q ∂q
∂2
L1 ∂L1
−
∂ ˙q ∂t ∂q
˙q ∂f21
∂q
+ ∂f21
∂t
lo que conduce a la siguiente ecuación
∂f21
∂ ˙q
¨q + ∂f21
∂q
que se puede reescribir de la siguiente forma
∂2L1 ∂ ˙ q2
˙q + ∂f21
∂t
df21
W1 = 0 .
dt
= − ∂f21
∂ ˙q
∂2L1 ∂ ˙q 2
¨q ,
= − ∂f21
∂2
L1
¨q ,
∂ ˙q ∂ ˙q 2
∂2L1 ∂ ˙ q2
= 0 ,
Hemos supuesto que el Lagrangiano L1 es regular, por lo que necesariamente se cumple la
condición W1 = 0. Por consiguiente el primer factor debe anularse, df21/dt = 0, y consecuentemente
la función f21 representa una cantidad conservada.
En resumen, hemos probado la siguiente propiedad :
Proposición 1 (Currie y Saletan) Supongamos que un sistema Lagrangiano admite, además de
un primer Lagrangiano L1, un segundo Lagrangiano L2 alternativo a L1. Entonces la función
f21 definida de la forma
f21 = W2 W −1
1 ,
es una constante del movimiento.

20 Capítulo 1. Simetrías y Constantes del movimiento
1.6.2 Lagrangianos alternativos con varios grados de libertad
Consideremos ahora la generalización del resultado anterior para el caso de sistemas Lagrangianos
con varios grados de libertad.
Supongamos un sistema n-dimensional que admite dos descripciones Lagrangianas distintas.
Esto significa que existen dos Lagrangianos distintos, L1 y L2, que conducen a ecuaciones de
Lagrange distintas
d
dt
∂L1
∂ ˙qi
− ∂L1
∂qi
= 0 ,
d
dt
∂L2
∂ ˙qi
− ∂L2
∂qi
= 0 , i = 1, 2, . . . , n,
pero que determinan el mismo conjunto de soluciones.
Utilizaremos una notación similar al la del caso uni-dimensional pero introduciendo índices
y sumatorios en los lugares adecuados. Lo que antes denotábamos por W1 y W2 son ahora las
funciones W1ij y W2ij
W1ij = ∂2L1 , W2ij =
∂ ˙qi ∂ ˙qj
∂2L2 ,
∂ ˙qi ∂ ˙qj
que pueden ser considerados como los elementos de las matrices simétricas n-dimensionales W1
y W2
W1 = [ W1ij ] , W2 = [ W2ij ] .
En cuanto a las funciones F1 y F2 son ahora las funciones F1i y F2i, definidas de la forma
F1i = ∂L1
∂qi
−
∂2
L1
˙qj −
∂qj ∂ ˙qi
∂2L1 , F2i =
∂t ∂ ˙qi
∂L2
−
∂qi
∂2
L2
˙qj −
∂qj ∂ ˙qi
∂2L2 ,
∂t ∂ ˙qi
j
Las ecuaciones de Euler-Lagrange para L1 y L2 se podrán escribir de la siguiente forma
W1ij ¨qj = F1i(q, ˙q, t) ,
W2ij ¨qj = F2i(q, ˙q, t) , i = 1, 2, . . . , n,
j
j
que recordemos son ecuaciones son distintas ya que W1 = W2 y F1i = F2i; pero puesto que
determinan las mismas soluciones, deben coincidir una vez convenientemente simplificadas y
reescritas en forma normal. Si despejamos las aceleraciones, obtenemos
donde W −1
y W −1
1
2
¨qk =
i
W −1
1 ki F1i , ¨qk =
i
W −1
2 ki F2i , k = 1, 2, . . . , n,
son las matrices inversas de las matrices W1 y W2 que están bien definidas
ya que hemos supuesto que los Lagrangianos L1 y L2 son regulares. Por consiguiente se debe
cumplir
i
W −1
1 ki F1i =
i
W −1
2 ki F1i ,
j

1.6. Lagrangianos alternativos y constantes del movimiento 21
lo que permite, multiplicando por la matriz inversa, despejar las funciones F2 r como combinación
lineal de las funciones F1i
F2 r =
(W2 rk W
i
−1
1 ki ) F1i =
W21 ri F1i .
i
donde hemos denotado por W21 la matriz n-dimensional definida de la siguiente forma
W21 = W2 W −1
1 .
Está claro que esta matriz W21 representa la generalización adecuada de la función f21 que
aparecía en el caso uni-dimensional. Procediendo de una forma análoga a como se ha hecho en
el caso uni-dimensional pero introduciendo las generalizaciones adecuadas se obtienen no una
sino n cantidades conservadas, esto es, tantas como grados de libertad. Más concretamente se
prueba que las trazas de las potencias de la matriz W21
I1 = tr W21 , I2 = tr W 2 21 , I3 = tr W 3 21 , . . . In = tr W n 21 ,
son cantidades conservadas
d
dt Ik = 0 , k = 1, 2, . . . , n.
En resumen, en el caso n-dimensional se cumple la siguiente propiedad :
Proposición 2 (Hojman y Harleston) Supongamos que un sistema Lagrangiano con n grados de
libertad admite, además de un primer Lagrangiano L1, un segundo Lagrangiano L2 alternativo
a L1. Entonces las n funciones I1, I2, . . . , In, definidas de la siguiente forma
son constantes del movimiento
Ik = tr W k 21 , W21 = W2 W −1
1
k = 1, 2, . . . , n,
Acabaremos esta sección con un par de comentarios
(i) No es necesariamente cierto que estas n cantidades conservadas sean funcionalmente
independientes. En la práctica, pueden plantearse situaciones muy distintas dependiendo de las
características de L1 y L2. Puede ocurrir que, en efecto, sean todas ellas independientes entre
sí pero puede ocurrir también que sólo un subconjunto de m < n constantes sean realmente
independientes.
(ii) Desde un punto de vista algebraico, las trazas de las potencias de una matriz M están
relacionadas con los valores propios de dicha matriz. En este caso, las n funciones Ik son
constantes del movimiento y como consecuencia de ello también lo serán los n valores propios
λk, k = 1, 2, . . . , n, de la matriz W21. Desde un punto de vista práctico es recomendable utilizar
las funciones Ik ya que suele ser más fácil calcular las trazas que calcular los valores propios.
En cualquier caso el problema de la independencia se puede trasladar al lenguaje de los valores
propios. Por ejemplo, si la matriz W21 tiene algunos valores propios repetidos, e.g. λk = λj,
k = j, entonces el número de constantes independientes será inferior a n.

22 Capítulo 1. Simetrías y Constantes del movimiento
Bibliografía
• Noether
[Noe18] E. Noether, “Invariante Variationsprobleme”, Nachr. d. Ges. d. Wiss. zu Göttingen,
235–257 (1918).
• Lagrangianos alternativos y constantes del movimiento
[CuSa66] D.G. Currie, E.J. Saletan, “q-equivalent particle Hamiltonians. I. The classical
one-dimensional case”, J. Math. Phys. 7, no. 6, 967–974 (1966).
[Ha57] P. Havas, “The range of application of the Lagrange formalism”, Nuovo Cimento 5,
no. 10, supplemento, 363–388 (1957).
[HeShe82] M. Henneaux, L.C. Shepley, “Lagrangians for spherically symmetric potentials”,
J. Math. Phys. 23, no. 11, 2101–2107 (1982).
[HoHa81] S. Hojman, H. Harleston, “Equivalent Lagrangians: multidimensional case”, J.
Math. Phys. 22, no. 7, 1414–1419 (1981).
[Ra91] M.F. Rañada, “Alternative Lagrangians for central potentials”, J. Math. Phys. 32,
no. 10, 2764–2769 (1991).

Capítulo 2
Ec. Dif. de Hamilton-Jacobi I
1. Introducción
2. Ecuación de Hamilton-Jacobi
3. Sistemas con un grado de libertad
4. Ecuación de Hamilton-Jacobi
5. El Oscilador Armónico
6. Variables acción-ángulo
2.1 Introducción
El formalismo Hamiltoniano sustituye las ecuaciones de Lagrange, que son n ecuaciones diferenciales
de 2do orden, por las ecuaciones de Hamilton, que son 2n ecuaciones diferenciales de
1er orden. Lamentablemente, esto no suele significar una disminución de la dificultad de cálculo
ya que, en la mayoría de los casos, cuando las ecuaciones de Lagrange son difíciles también lo
son las de Hamilton. Sin embargo el formalismo Hamiltoniano posee ciertas propiedades que
son enormemente positivas. Por ejemplo los paréntesis de Poisson (todas las propiedades importantes
de la dinámica se pueden expresar en el lenguaje de los paréntesis de Poisson) y las
transformaciones canónicas (las transformaciones canónicas incluyen no solo a las transformaciones
puntuales sino también a otras muchas no puntuales) permiten estudiar las propiedades
de las constantes del movimiento utilizando técnicas no existentes en el formalismo Lagrangiano.
23

24 Capítulo 2. Ec. Dif. de Hamilton-Jacobi I
2.2 Ecuación de Hamilton-Jacobi
El objetivo es obtener una transformación canónica que genere unas nuevas ecuaciones de Hamilton
que sean lo más sencillas posible. Unas ecuaciones sencilla provienen de un Hamiltoniano
sencillo y un Hamiltoniano sencillo es aquel que tiene coordenadas cíclicas. Por consiguiente, la
transformación óptima es la que genera un nuevo Hamiltoniano H ′ en el que todas las nuevas
coordenadas Qj, j = 1, 2, . . . , n, son cíclicas
H(q1, . . . , qn, p1, . . . , pn) → H ′ (P1, . . . , Pn) .
En este caso las nuevas ecuaciones serán de la forma
˙Qj = ∂H′
∂Pj
Pj
˙ = − ∂H′
∂Qj
= fj(P1, . . . , Pn)
= 0
⎫
⎪⎬
⎪⎭
j = 1, 2, . . . , n,
donde las fj son funciones que dependen únicamente de los nuevos momentos Pj. Teniendo
en cuenta que los nuevos momentos son constantes del movimiento, Pj = αj, las ecuaciones para
las Qj pueden ser integradas directamente
Qj = fj t + δj , j = 1, 2, . . . , n,
donde δj = Qj(0) son un conjunto de n constantes numéricas determinadas por las condiciones
iniciales. En resumen si es posible obtener la transformación canónica óptima entonces la resolución
de las ecuaciones de Hamilton es trivial. Deshaciendo el cambio de variable se obtiene
finalmente las soluciones
qj = qj(t) , pj = pj(t) , j = 1, 2, . . . , n.
Este planteamiento supone que es posible resolver los dos puntos siguientes :
(i) Obtener las nuevas variables ’maravillosas’.
(ii) Obtener el nuevo Hamiltoniano H ′ .
Aclaremos que, en la mayoría de los casos, estas dos cuestiones son bastante difíciles de resolver.
El formalismo de H-J consiste, no en buscar directamente la transformación canónica (q, p) →
(Q, P ) que simplifique las ecuaciones sino en buscar, en primer lugar, la función generatriz F
que la genera y luego, una vez conocida F , construir la transformación
F → Q = Q(q, p) , P = P (q, p) .
Recordemos que, en la práctica, hay cuatro formas distintas de presentar la función generatriz
que corresponden a las cuatro formas distintas de combinar los (q, p) antiguos con los (Q, P )
nuevos. Es tradicional denotar estos cuatro casos de la siguiente forma
F1(q, Q) , F2(q, P ) , F3(p, Q) , F4(p, P ) .

2.2. Ecuación de Hamilton-Jacobi 25
Resulta conveniente utilizar una función de tipo F2, dependiente de las antiguas qis y los nuevos
Pis
F2(q1, . . . , qn, P1, . . . , Pn) → pi = ∂
F2 , Qi =
∂qi
∂
F2 .
∂Pi
La teoría de Hamilton-Jacobi utiliza una notación algo distinta. Es habitual denotar la función
generatriz por W y los nuevos momentos por αi. De esta forma tenemos
W (q1, . . . , qn, α1, . . . , αn) → pj = ∂
W , Qj =
∂qj
∂
W ,
∂αj
de tal forma que, utilizando las igualdades pj = ∂W/∂qj, obtenemos la siguiente ecuación
H(q1, . . . , qn, ∂W
∂q1
, . . . , ∂W
) = H
∂qn
′ (α1, . . . , αn) [ = α1 ]
donde la igualdad H = H ′ = α1 es consecuencia de la conservación de la energía. Esta ecuación,
que se denomina ecuación de Hamilton-Jacobi, constituye una ecuación en derivadas parciales
de 1er orden con una función incógnita W y n variables independientes q1, q2, . . . , qn. La función
W , que se denomina función característica de Hamilton, genera una transformación canónica
(qi, pi) → (Qi, Pi) cuyas nuevas coordenadas Qi son todas cíclicas. Esto significa que las nuevas
Ec. de Hamilton son prácticamente triviales. Las ecuaciones para los nuevos momentos Pi son
Pi
˙ = − ∂H′
∂Qi
= 0 , Pi = αi , i = 1, 2, . . . , n,
lo que significa que los nuevos momentos son todos constantes. A su vez, las ecuaciones de las
nuevas coordenadas Qi son de la forma
˙Qi = ∂H′
∂αi
lo que permite integrarlas directamente
= δi1 , i = 1, 2, . . . , n,
Q1 = t + β1 , Qj = βj , j = 1 .
La función de Hamilton W (que depende de qi y de αi) relaciona las nuevas coordenadas
(Qj, αj) con las antiguas (qipi) por medio de las relaciones
(i) pj = ∂
W (q, α) , (ii) Qj =
∂qj
∂
W (q, α) ,
∂αj
Empecemos considerando las relaciones (ii). La función W es una función de tipo F2 y, por
consiguiente, satisface la siguiente condición
∂pj ∂2W
det = det = 0 ,
∂αi ∂αi ∂qj

26 Capítulo 2. Ec. Dif. de Hamilton-Jacobi I
lo que significa que es posible resolver las funciones Qj = Qj(q, α) para qi y obtener qi = qi(β, α).
Una vez conocidos estas funciones, el grupo (i) permite obtener pi = pi(β, α). En definitiva
hemos obtenido las 2n funciones
qi = qi(β, α) , pi = pi(β, α) ,
que representan los valores de qi y pi en función del tiempo t, de las n constantes del movimiento
(cantidades conservadas) αi y las n constantes de integración βi.
Podemos pues afirmar la siguiente propiedad.
Proposición 3 La resolución de la ecuación de H-J equivale a la resolución del problema Hamiltoniano
Finalizaremos esta sección comentando una propiedad interesante de la función W .
Como W no depende explícitamente del tiempo, su derivada total con respecto al tiempo t
viene dada por
y por tanto
dW
dt
∂W
= ˙qi =
∂qi
pi ˙qi ,
i
W = pi ˙qi dt = pi dqi .
i
Esta expresión integral para W es interesante y aparentemente podría ser considerada como un
nuevo étodo alternativo para la obtención de W . Sin embargo carece de utilidad práctica ya
que, para calcular el valor de la integral, sería necesario conocer previamente las expresiones de
qi y pi como funciones del tiempo y eso significaría haber resuelto previamente las ecuaciones
del movimiento.
2.3 Sistemas con un grado de libertad
2.3.1 Ecuación de H-J
Cuando el sistema es de un grado de libertad la ecuación de H-J es relativamente fácil de resolver.
El Hamiltoniano inicial H es una función de una única coordenada q y un único momento p y
el nuevo Hamiltoniano H ′ es función del nuevo momento P que permanece constante
H(q, p) → H ′ (α) [ α es el nuevo momento ].
La idea es identificar la constante α con el valor constante del Hamiltoniano, esto es, H ′ = α (α
es, por supuesto, la energía del sistema). La ecuación de H-J resulta ser de la forma
H(q, ∂W
∂q
) = α .
i
i

2.3. Sistemas con un grado de libertad 27
La función W relaciona las nuevas coordenadas (β, α) con las antiguas (q, p)
y las nuevas Ec. de Hamilton son
son trivialmente integrables para dar
p = ∂
∂
W , β = W , W = W (q, α) ,
∂q ∂α
˙α = − ∂H′
∂β = 0 , β ˙
∂H
= ′
∂α
= 1 ,
α = cte (= H ′ ) , β = t + δ [ resulta conveniente elegir δ de la forma δ = −t0 ]
lo que permite obtener la solución del problema
t − t0 = ∂W
∂α =
q
∂
p(q, α) dq [ recordemos que W =
∂α
q0
p dq ] .
Todo lo anterior es cierto para un Hamiltoniano H general. Consideremos una función H de
tipo mecánico, esto es, un término cinético más un potencial
H = 1
2m p2 + V (q) ,
en cuyo caso la ecuación de H-J es de la forma
1
∂W
2 + V (q) = α [ α es el valor cte de la energia ].
2m ∂q
La Ec. Dif. permite despejar ∂W/∂q de la forma
∂W
∂q = 2m(α − V (q)) ,
que por integración directa conduce a
W = √
α
2m − V (q) dq .
No es necesario efectuar la integración ya que lo que se utiliza no es tanto W como sus derivadas
parciales. Teniendo en cuenta
se obtiene la solución del problema
˙Q = ∂H′
∂α
t − t0 = ∂W
∂α =
= 1 , Q = t + δ ,
m
2
q
q0
1
α − V (q) dq
donde, al igual que antes, hemos tomado por comodidad δ = −t0.

28 Capítulo 2. Ec. Dif. de Hamilton-Jacobi I
2.3.2 El Oscilador Armónico
Consideremos el oscilador armónico unidimensional. El Hamiltoniano es
y la ecuación de H-J viene dada por
H = p2 1
+
2m 2 mω2q 2 , ω 2 = k
m .
1
∂W
2 +
2m ∂q
1
2 mω2q 2 = α (α es el valor cte de la energia).
Esta Ec. Dif. permite despejar la derivada ∂W/∂q directamente de la forma
∂W
∂q = √ m 2α − mω 2 q 2 ,
y obtener la función W por integración directa
W = √
2α
m − mω2q2 dq .
La Ec. de Hamilton para Q es trivial y se puede obtener directamente el valor de Q como función
del tiempo
˙Q = ∂H′
= 1 , Q = t + δ
∂α
Igualando el valor obtenido para Q con la derivada de W con respecto a α, esto es Q = ∂W/∂α,
se obtiene
t + δ = √
m
dq
2α − mω 2 q 2
= 1
ω sen−1 mω2 2α q
Despejando la variable q se obtiene finalmente la solución q = q(t) del oscilador armónico
2α
q = sen ω(t + δ) .
mω2 2.3.3 Variables acción-ángulo
Las trayectorias del oscilador armónico en el espacio de fases son curvas cerradas. Esta propiedad
no es exclusiva del oscilador sino que caracteriza a muchos sistemas que poseen movimientos
acotados de tipo periódico. En estos casos el punto con coordenadas (q, p) se desplaza por el
espacio de fases retornando al punto de partida después de un período T = 2π/ω donde ω es la
frecuencia del movimiento (en el caso particular del oscilador armónico ω es independiente de
la energía E, pero esto es una propiedad inusual). La idea es que, cuando el sistema posee este

2.3. Sistemas con un grado de libertad 29
tipo de movimientos, existe un procedimiento alternativo para la resolución de la ecuación de
H-J en el que la nueva coordenada, que se denota por θ, incrementa su valor por 2π cada vez
que el sistema completa una órbita cerrada. El momento conjugado de θ, que se denota por I,
se denomina variable de acción.
La función de Hamilton W , que depende de q y de I, relaciona las nuevas coordenadas (θ, I)
con las antiguas (q, p)
y la ecuación de H-J resulta ser de la forma
W = W (q, I) → p = ∂
∂
W , θ = W ,
∂q ∂I
H(q, ∂W
∂q ) = α = H′ (I) .
El sistema recorre una trayectoria cerrada C con un valor constante de α (y por consiguiente
con un valor constante de I ya que α = H ′ (I)). La condición de que la nueva coordenada θ
aumente su valor en 2π cuando el sistema recorre una órbita cerrada
dθ = 2π ,
se puede escribir de la siguiente forma
dθ
dθ = dq =
dq
∂
∂I
C
C
C
C
∂W
∂q
Esta condición sugiere introducir I de la siguiente forma
I = 1
p(q, α) dq ,
2π
C
dq = ∂
p(q, α) dq = 2π .
∂I C
que puede ser considerada como la definición del nuevo momento I que se conoce como la
“variable de acción”. Resaltemos, una vez más, que el nuevo momento I es función de la
constante α.
Las nuevas Ec. de Hamilton
resultan de la siguiente forma
I ˙ = − ∂
∂θ H′ , θ ˙
∂
=
∂I H′ (I) ,
˙
I = 0 , ˙ θ = ω(I) ,
(ω, que depende de I, es constante) y pueden ser integradas directamente
I = cte , θ = ω(I) t + δ ,
donde ω(I) es la frecuencia característica del movimiento y δ = θ(0).
Finalmente la solución del problema viene dada por
q = q(I, θ) , p = p(I, θ) .

Capítulo 3
Ec. Dif. de Hamilton-Jacobi II
1. Introducción
2. Separabilidad
3. Separación de variables en la ecuación de H-J
4. Partícula en el plano IE 2 bajo la acción de una fuerza central
5. Variables acción-ángulo
6. Geometría del espacio de fases
3.1 Introducción
El método de Hamilton-Jacobi sustituye las Ec. de Hamilton, que son 2n ecuaciones diferenciales
ordinarias, por una única ecuación en derivadas parciales. Es conocido que este tipo de
ecuaciones suelen ser bastante difíciles de integrar. Por consiguiente es conveniente resaltar que,
sobre todo en el caso general, la resolución de la Ec. de H-J es un problema de enorme dificultad.
Hemos visto cuando el sistema es unidimensional la ecuación de H-J es relativamente fácil
de resolver. Esta propiedad es interesante y puede ser utilizada para la integración de ciertas
familias de sistemas con n grados de libertad. En efecto, existen sistemas n-dimensionales cuya
ecuación de H-J puede ser descompuesta en un conjunto de ecuaciones unidimensionales. En
este caso la ecuación de H-J es resoluble y es posible obtener (al menos formalmente) la solución
de la dinámica.
30

3.2. Separabilidad 31
3.2 Separabilidad
3.2.1 Separación de variables en la ecuación de H-J
Empecemos considerando un caso particular de sistema Hamiltoniano. Supongamos que H es
una función suma de n sumandos Hi, i = 1, 2, . . . , n, cada uno de ellos asociado a un grado de
libertad
H = H1(q1, p1) + H2(q2, p2) + . . . + Hn(qn, pn) ,
como, por ejemplo, el oscilador armónico n-dimensional
H = 1
2m (p2 1 + p 2 2 + . . . + p 2 n) + 1
2 m(ω2 1q 2 1 + ω 2 2q 2 2 + . . . + ω 2 nq 2 n) .
Entonces parece lógico suponer que la función W tiene una forma similar a la del Hamiltoniano,
esto es, suma de n sumandos Wi, i = 1, 2, . . . , n, cada uno de ellos asociado a un grado de
libertad
W = W1(q1) + W2(q2) + . . . + Wn(qn) .
En este caso la ecuación de H-J se descompone en n ecuaciones unidimensionales
H1(q1, ∂W1
∂q1
) = α1 , H2(q2, ∂W2
∂q2
) = α2 , . . . , Hn(qn, ∂W1
) = αn ,
∂qn
donde las αj están relacionadas por α = α1 + α2 + . . . + αn = H ′ donde α es el valor contante
del nuevo Hamiltoniano H ′ .
Nos proponemos estudiar una generalización del método anterior que sea aplicable a Hamiltonianos
H con una forma más general, Consideremos pues un Hamiltoniano
y la Ecuación de H-J asociada
H = H(q1, . . . , qn, p1, . . . , pn) ,
H(q1, . . . , qn, ∂W
∂q1
, . . . , ∂W
)= α1 .
∂qn
Supongamos, en primer lugar, que la función W se puede escribir como suma de n funciones
Wi, i = 1, 2, . . . , n, cada una dependiendo de una única coordenada
(1) Consideremos la ecuación de H-J
W = W1(q1) + W2(q2) + . . . + Wn(qn)
H(q1, . . . , qn, ∂W1
∂q1
, . . . , ∂Wn
)= α1
∂qn
y supongamos que admite una descomposición de la siguiente forma
H1(q1, ∂W1
∂q1
, α1) = H ∗ 1 (q2, . . . , qn, ∂W2
∂q2
, . . . , ∂Wn
, α1) .
∂qn

32 Capítulo 3. Ec. Dif. de Hamilton-Jacobi II
La función H1 (situada a la izquierda) depende únicamente de q1 y la función H∗ 1 (situada a la
derecha) depende de las otras n − 1 variables. Estas dos expresiones pueden ser iguales una a
la otra solo si su valor común permanece constante. Este razonamiento permite introducir una
constante de separción α2 y conduce a las siguientes ecuaciones
H1(q1, ∂W1
, α1) = α2 [1a]
∂q1
H ∗ 1 (q2, . . . , qn, ∂W2
∂q2
, . . . , ∂Wn
, α1) = α2 [1b]
∂qn
La Ec. Dif. [1a] es una Ec. Dif. ordinaria. Se puede interpretar como la Ec. de H-J para un
sistema con un único grado de libertad y, en principio, puede ser resuelta
[1a] → W1 = W1(q1, α1, α2) .
(2) Consideremos ahora la ecuación [1b] y supongamos que admite una descomposición en suma
de dos sumandos de tal forma que se obtiene
H2(q2, ∂W2
∂q2
, α1, α2) = H ∗ 2 (q3, . . . , qn, ∂W3
∂q3
⎫
⎪⎬
⎪⎭
, . . . , ∂Wn
, α1, α2) .
∂qn
La función H2 (situada a la izquierda) depende únicamente de q2 y la función H∗ 2 (situada a
la derecha) depende de las otras n − 2 variables. Hemos obtenido una separación de variables
similar a la del punto (1) y esto permite introducir una nueva constante de separación α3 y
conduce a las siguientes dos ecuaciones
H2(q2, ∂W2
, α1, α2) = α3 [2a]
∂q2
H ∗ 2 (q3, . . . , qn, ∂W3
∂q3
, . . . , ∂Wn
, α1, α2) = α3 [2b]
∂qn
La Ec. Dif. [2a] es una Ec. Dif. ordinaria. Se puede interpretar como la Ec. de H-J para un
sistema con un único grado de libertad y, en principio, puede ser resuelta
[2a] → W2 = W2(q2, α1, α2, α3) .
(n) Repitiendo este procedimiento de separación de variables de forma reiterada se llega finalmente
a las ecuaciones para Wn−1 y Wn
Hn−1(qn−1, ∂Wn−1
, α1, . . . , αn−1) = αn [n − 1]
∂qn−1
Hn(qn, ∂Wn
, α1, . . . , αn−1) = αn [n]
∂qn
⎫
⎪⎬
⎪⎭
⎫
⎪⎬
⎪⎭

3.2. Separabilidad 33
El resultado final es que la Ec. de H-J inicial, que es una ecuación en derivadas parciales, se ha
descompuesto en un conjunto de n Ec. Dif. ordinarias desacopladas entre sí
H1(q1, ∂W1
, α1) = α2
∂q1
H2(q2, ∂W2
, α1, α2) = α3
∂q2
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
Hn(qn, ∂Wn
⎫
⎪⎬
, α1, . . . , αn−1) =
⎪⎭ αn
∂qn
En resumen, si la ecuación de H-J admite separación aditiva de variables entonces esta ecuación
se descompone en n ecuaciones de H-J unidimensionales resolubles.
Un sistema Hamiltoniano cuya ecuación de H-J admite separación aditiva de variables se
denomina separable. Conviene resaltar que la separabilidad es una propiedad que depende de
• El sistema de coordinadas: Una ecuación de H-J puede ser separable en un sistema de
coordenadas (q1, q2, . . . , qn) y no serlo en otro.
• El Hamiltoniano H: Hay Hamiltonianos cuya ecuación de H-J nunca es separable.
Por consiguiente, calificar un Hamiltoniano H como separable, significa que existe al menos
un sistema de coordenadas (q1, q2, . . . , qn), en el que la ecuación de H-J admite separabilidad.
Finalmente digamos que no es estrictamente necesario identificar las n constantes deintegración
αi como los nuevos momentos conservados, esto es αi = Pi. En ocasiones, puede ser
conveniente elegir como nuevos momentos ciertas cantidades γi que se obtienen a partir de las
constantes de integración
αi → γi = γi(α1, α2, . . . , αn) , i = 1, 2, . . . , n .
En este caso los nuevos momentos Pi vendrán dados por
y función W será de la forma W = W (qj, γj).
Pi = γi(α1, α2, . . . , αn) ,
3.2.2 Partícula en el plano IE 2 bajo la acción de una fuerza central
Consideremos el siguiente Lagrangiano L en coordenadas polares
L = ( 1
2 )m(v2 r + r 2 v 2 φ ) − k V (r) (k es una constante) .
Teniendo en cuenta que los momentos pr y pφ vienen dados por
pr = mvr , pφ = mr 2 vφ ,

34 Capítulo 3. Ec. Dif. de Hamilton-Jacobi II
obtenemos que el Hamiltoniano H viene dado por
H(r, φ, pr, pφ) = ( 1
2m )
p 2 r + p2 φ
r 2
y, por consiguiente, la Ec. de H-J es de la siguiente forma
+ k V (r) ,
( 1
2m )
∂W
2 +
∂r
1
r2
∂W
2 + k V = α1 .
∂φ
Supongamos que W es suma de una función radial y una función angular
W (r, φ) = Wr(r, α) + Wφ(φ, α) .
Entonces la Ec. Dif. queda de la siguiente forma
( 1
2m )
∂Wr
∂r
lo que permita realizar una separación de variables
2
+ 1
r2
∂Wφ 2
+ k V (r) = α1 ,
∂φ
r 2
∂Wr 2
+ 2mr
∂r
2 k V (r) − 2mr 2
∂Wφ 2
α1 = − .
∂φ
Denotando por α2 2 el valor común, obtenemos dos ecuaciones unidimensionales
∂Wφ
= α2
∂φ
∂Wr 2
+ 2mk V (r) − 2mα1 = −
∂r
α2 2
r2 ⎫
⎪⎬
⎪⎭
La ecuación angular es trivial y admite como solución la siguiente función
Wφ = α2 φ .
La ecuación radial
∂Wr 2
= 2m(α1 − k V ) −
∂r
α2 2
,
r2 no es tan sencilla pero también se puede resolver por integración directa
Wr = √
2m
(α1 − k V ) − α2 2 dr .
2mr2 Por consiguiente, la función W solución de la Ec. de H-J es
W = Wr + Wφ = √ 2m
(α1 − k V ) − α2 2
2mr 2 dr + α2 φ .

3.3. Variables acción-ángulo 35
La función W = W (r, φ, α1, α2) es la función generatriz de una transformación canónica (r, φ, pr, pφ) →
(Q1, Q2, α1, α2) cuyas ecuaciones de transformación vienen dadas por
Se obtiene el siguiente resultado
Q1 = t + β1 = ∂W
, Q2 = β2 =
∂α1
∂W
.
∂α2
t + β1 =
β2 = −
m dr
2m(α1 − k V ) − α2 2
r2 α2 dr
r2
2m(α1 − k V ) − α2 2
r2 La expresión obtenida para Q1 = t+β1 permite obtener t como función de r y, consecuentemente,
obtener r como función de t. Este resultado coincide con el resultado obtenido utilizando el
formalismo Lagrangiano con el único cambio de identificar las constantes α1 y α2 con la energía
y el momento angular
α1 → E , α2 → J .
La expresión obtenida para Q2 = β2 permite obtener la ecuación de la órbita (relación entre r
y φ). Más concretamente, introduciendo el cambio de variable r → u = 1/r, se obtiene
α2 du
φ = β2 − ,
2m(α1
− k V ) − u2 α 2 2
que también coincide con la correspondiente ecuación obtenida utilizando el formalismo Lagrangiano.
3.3 Variables acción-ángulo
Hemos visto anteriormente, al estudiar el caso unidimensional, que existe un enfoque alternativo
para la resolución de la ecuación de H-J en el que, en lugar de utilizar las constantes de
integración αi como los nuevos momentos conservados, esto es αi = Pi, se prefiere introducir
unas nuevas funciones Ii adecuadamente definidas como cantidades conservadas; estas funciones
se denominan variables de acción.
Consideremos un sistema separable cuya función W admite una descomposición aditiva de
la siguiente forma
W =
+ φ
n
Wr(qr, α1, . . . , αn) = W1(q1) + W2(q2) + . . . + Wn(qn) .
r=1
En este caso la relación
pk = ∂
Wk(qk, α1, . . . , αn) , k = 1, 2, . . . , n ,
∂qk

36 Capítulo 3. Ec. Dif. de Hamilton-Jacobi II
indica que cada momento pk es función de su correspondiente coordenada qk. Si el movimiento
es periódico en cada coordenada qk entonces se pueden introducir las n variables de acción Ik
de la siguiente forma
Ik = 1
pk(qk, α1, . . . , αn) dqk .
2π Ck
donde Ck es la curva cerrada correspondiente al k-ésimo grado de libertad. Conocidos los valores
de los nuevos momentos Ik, que recordamos que son función de las αk, pueden ser sustituidos
en la función W lo que permite obtener las nuevas coordenadas angulares
θk = ∂W
∂Ik
Las nuevas Ec. de Hamilton son
=
n ∂
Wr(qr, I1, . . . , In) .
∂Ik
r=1
Ik
˙ = − ∂
H
∂θk
′ (I1, I2, . . . , In) = 0
∂
˙θk = H
∂Ik
′ (I1, I2, . . . , In) = ωk
pueden ser integradas directamente y la solución es de la forma
⎫
⎪⎬
Ik = cte , θk = ωk t + δk , ωk = ωk(I1, I2, . . . , In) ,
donde ωk, k = 1, 2, . . . , n, son las n frecuencias características del movimiento y δk son las fases
o valores iniciales de las variables angulares δk = θk(0).
Finalmente, invirtiendo las ecuaciones
se obtiene
que representa la solución del problema.
pj = ∂
W (qi, Ii) , θj =
∂qj
∂
W (qi, Ii) ,
∂Ij
qj = qj(θi, Ii) , pj = pj(θi, Ii) , j = 1, 2, . . . , n,
3.4 Geometría del espacio de fases
En general es difícil determinar cuando un cierto Hamiltoniano H es separable y en cuanto
a las variables acción Ik, k = 1, 2, . . . , n, son cantidades difíciles de obtener en la práctica.
En cualquier caso está claro que, de todo lo expuesto anteriormente, el punto clave para la
integración de un sistema Hamiltoniano con n grados de libertad es la obtención de n constantes
del movimiento (cantidades conservadas) Fk, k = 1, 2, . . . , n, donde n representa el número de
grados de libertad. Si estas n funciones pueden ser interpretadas como n momentos conjugados
Pk, k = 1, 2, . . . , n, entonces las ecuaciones de Hamilton pueden ser integradas directamente.
⎪⎭

3.4. Geometría del espacio de fases 37
Consideremos una función diferenciable (variable dinámica) G(q, p). Esta función determina
una foliación y un campo vectorial en T ∗ Q de la siguiente forma:
(i) Cada valor c ∈ R(G) (donde R(G) ⊂ IR es el recorrido de G) determina una subvariedad
Mc = G −1 (c) de T ∗ Q de dimensión 2n − 1 (codimensión 1). La colección de todas las
subvariedades Mc cuando c toma todos los posibles valores
ΣG = { Mc }c∈IR , Mc = { x ∈ T ∗ Q/ G(x) = c } ,
constituye una foliación en el espacio de fases, esto es, una familia de subvariedades disjuntas
de tal forma que por cada punto de T ∗ Q pasa una única subvariedad. Cada una de estas Mc se
denomina hoja de la foliación y todas tienen la misma dimensión.
(ii) El campo vectorial XG en T ∗ Q viene dado por
XG = (∇pG, −∇qG)
o, utilizando otra notación, por
XG =
( ∂G
∂
de tal forma que
j
∂pj
∂qj
−
∂G
∂
∂qj ∂pj
(a) El campo vectorial XG es tangente a cada una de las hojas de la foliación ΣG. Esto
significa que las curvas integrales de XG están totalmente contenidas o confinadas en las
subvariedades de la foliación.
(b) La modificación δR que sufre una función R(q, p) a lo largo de las curvas integrales de XG
viene dada por la acción XG(R) de XG sobre R
XG(R) =
( ∂G ∂R
−
∂pj ∂qj
∂G ∂R
,
∂qj ∂pj
que resulta ser el paréntesis de Poisson de R con G
j
j
δR = {R, G} .
Un caso particular es cuando la función G es el propio Hamiltoniano H. En este caso el
campo vectorial XH es el campo dinámico y las hojas de la foliación son las hipersuperficies de
energía constante.
Consideremos dos funciones F y G y supongamos que son funcionalmente independientes;
esto significa que sus diferenciales son independientes lo que se refleja en la siguiente propiedad
dF ∧ dG = 0 .
Por otra parte F y G determinan, además de las dos foliaciones ΣF y ΣG, una nueva foliación
ΣF G definida como la intersección ΣF G = ΣF ∩ ΣG. La independencia de F y G implica que la
dimensión de la foliación ΣF G es 2n−2. Por ejemplo, consideremos f = f(x, y, z) y g = g(x, y, z)
de tal forma que Σf y Σg son foliaciones bi-dimensionales de IR 3 . En este caso la independencia
de f y g significa que las subvariedades de Σfg son uni-dimensionales (curvas en IR 3 ).
j

38 Capítulo 3. Ec. Dif. de Hamilton-Jacobi II
Definición 2 Dos funciones F y G definidas en el espacio de fases están en involución si su
Paréntesis de Poisson es nulo
{F , G} = 0 .
Este concepto permite caracterizar las constantes del movimiento como las funciones que
están en involución con el Hamiltoniano
{H , F } = 0 .
Definición 3 Un sistema Hamiltoniano se denomina ’completamente integrable’ o ’integrable en
el sentido de Liouville’ o de ’Arnold-Liouville’ (o, simplemente, ’integrable’) si posee n constantes
del movimiento o cantidades conservadas, F1, F2, . . ., Fn, que están globalmente definidas, son
funcionalmente independientes
y están en involución
dF1 ∧ dF2 ∧ . . . ∧ dFn−1 ∧ dFn = 0
{H , Fs} = 0 , {Fr , Fs} = 0 , r, s = 1, 2, . . . , n.
Una de estas funciones puede ser identificada con el Hamiltoniano; por ejemplo F1 = H.
Consideremos un sistema Hamiltoniano y consideremos en primer lugar las consecuencias
geométricas de la conservación de la energía. El Hamiltoniano H es constante del movimiento
y determina una foliación ΣH del espacio de fases
ΣH = { ME }E∈IR , ME = { x ∈ T ∗ Q/ H(x) = E } ,
de tal forma que las superficies de energía constante son subvariedades 2n − 1-dimensionales.
Supongamos que además H es integrable. Entonces cada una de las otras n − 1 integrales del
movimiento Fr determina a su vez una foliación
ΣFr = { Mcr }cr∈IR , Mcr = { x ∈ T ∗ Q / Fr(x) = cr } ,
y la intersección de las n foliaciones define una foliación n-dimensional
ΣF = ΣH ∩ ΣF2 ∩ . . . ∩ ΣFn .
de tal forma que cada una de las subvariedades en ΣF estará caracterizada por n números: la
energía E y los valores constantes cr de las funciones Fr, r = 2, . . . , n,
ΣF = { Mc1,...,cr } (c1,...,cr)∈IR n , Mc1,...,cr = { x ∈ T ∗ Q / Fr(x) = cr, r = 1, . . . , n, c1 = E} .
Se cumplen las siguientes propiedades :
(a) Cada una de las hojas Mc1,...,cr de la foliación ΣF es una subvariedad invariante bajo el
flujo generado por el Hamiltoniano H (flujo Hamiltoniano). Por consiguiente cada una de
las curvas integrales de XH, que representa una posible evolución temporal del sistema,
estará contenida en una subvariedad n-dimensional.

3.4. Geometría del espacio de fases 39
(b) Los n campos vectoriales XFr son tangentes a las hojas de la foliación ΣF (subvariedades
Mc1,...,cr), son linealmente independientes y forman una base del correspondiente espacio
tangente n-dimensional. Esto significa que las hojas de la foliación ΣF son subvariedades
paralelizables.
(c) La propiedad de que las n funciones Fr, r = 1, 2, . . . , n, estén en involución implica que los
correspondientes campos vectoriales Xr, r = 1, 2, . . . , n, conmutan entre sí, en el sentido
de que los paréntesis de Lie son nulos
[XH , Xs] = 0 , [Xr , Xs] = 0 , r, s = 1, 2, . . . , n.
Como consecuencia de ello si las hojas de la foliación ΣF son subvariedades compactas y
conexas entonces deben ser difeomorfas a un toro n-dimensional
Mc1,...,cr ∼ T n = S 1 ×S 1 × . . . ×S 1
(n factores) .
(d) Cada círculo S 1 en T n puede ser descrito por medio de una coordenada angular θk ∈ [0, 2π).
El movimiento más general en Mc1,...,cr ∼ T n es un movimiento quasiperiódico, que es la
solución de las ecuaciones (transformadas) del movimiento
d
dt θk = ωk , k = 1, 2, . . . , n.
Un movimiento se denomina quasiperiódico, con frecuencias ω1, ω2 . . . , ωn, si está desacoplado
y las componentes del movimiento son periódicas (los períodos vienen dados por Tk = 2π/ωk) y
las frecuencias son racionalmente independientes
n
rk ωk = 0 solo si r1 = r2 = . . . = rn = 0 .
k=1
Si un movimiento es quasiperiódico entonces las trayectorias (curvas integrales de XH) no solo
están contenidas en un toro T n sino que además son densas en él.
Finalmente, digamos que si el movimiento no es acotado entonces las hojas no serán compactas.
En este caso serán difeomorfas a un producto de un toro n-m-dimensional por m factores
de IR
Mc1,...,cr ∼ T n−m × IR m .
El caso m = 0 corresponde al caso compacto anteriormente mencionado.
Acabaremos esta sección con un esquema final a modo de resumen
Consideremos un sistema Hamiltoniano conservativo con n grados de libertad
H(q1, . . . , qn, p1, . . . , pn) = E
que es integrable en el sentido de Liouville. Entonces el espacio de fases T ∗ Q tiene unas estructuras
con las siguientes dimensiones :

40 Capítulo 3. Ec. Dif. de Hamilton-Jacobi II
(i) Espacio de fases : 2n-dimensional
(ii) Superficies de energía constante : 2n − 1-dimensional
(iii) Toros : n-dimensional
La siguiente tabla refleja los valores para algunos casos particulares :
Número de grados de libertad 1 2 3 4
Dimensión del Espacio de Fases 2 4 6 8
Dimensión de la Superficie de energía constante 1 3 5 7
Dimensión de los Toros 1 2 3 4
Tabla I. Dimensiones del espacio de fases, de las superficies de energía constante y de los toros
en varios casos particulares con número de grados de libertad pequeño.

Capítulo 4
El problema de Kepler y el oscilador
armónico
1.
Órbitas cerradas y potenciales de Bertrand
2. El problema de Kepler y el vector de Laplace-Runge-Lenz
3. El oscilador armónico y el tensor de Fradkin
4. La hodógrafa
4.1 Órbitas cerradas y potenciales de Bertrand
Bertrand presentó en l’Academie des Sciences de París, en Octubre de 1873, una comunicación
con título “Théorème relatif au mouvement d’un point attiré vers un centre fixe” que empieza
con el siguiente párrafo introductorio:
Les orbites planétaires son des courbes fermées; c’est la cause principale de la stabilite
de notre sistème, et cette circonstance importante résulte de la loi d’attraction
qui, quelles que soi les circonstances initialles, fai mouvoir chaque corp céleste, qui
n’est pas expulsé de notre système, suivant la circonférence d’un ellipse.
A continuación Bertrand se pregunta si estas características son propias únicamente de
la fuerza proporcional al cuadrado del inverso de la distancia o por el contrario de existen
también otras fuerzas centrales que conducen a trayectorias cerradas representando movimientos
periódicos.
Consideremos la integral
θ(r) =
J 2
2m
r
r0
dr
r 2 E − Vef(r) ,
41

42 Capítulo 4. El problema de Kepler y el oscilador armónico
Esta integral puede ser utilizada para calcular el cambio ∆r que sufre θ cuando r varía desde
el valor mínimo rm hasta el valor máximo rM y vuelve de nuevo a rm. Si el valor ∆θ es
conmensurable con 2π entonces existen números enteros (m, n) tales que m∆θ = 2πn y la órbita
es cerrada. Dado que la órbita es simétrica con respecto a rm basta con integrar desde rm
hasta rM. Si denotamos por Θ el valor Θ = (1/2)∆θ entonces se tiene que cumplir la condición
mΘ = nπ para algún par de números enteros (m, n).
El método utilizado por Bertrand se desarrolla en tres pasos sucesivos:
1. Estudio de la existencia de órbitas circulares. Se demuestra que todo potencial de la forma
V = k r n admite una órbitra circular para un cierto valor rc del radio r.
2. Estudio del comportamiento de la órbita para pequeñas desviaciones ∆r de rc. Se demuestra
que las órbitas perturbadas sólo son cerradas si n ≥ − 2.
3. Utilización de un desarrollo perturbativo en torno a rc. Finalmente se obtienen los dos
valores distinguidos n = −1 y n = 2.
Demostraremos en primer lugar la siguiente propiedad.
Proposición 4 Consideremos un potencial central V (r) de la forma
Entonces
(i) Siempre existe una órbita circular.
(ii) Si n > − 2 entonces la órbita es estable.
V = k r n , k n > 0 .
La condición kn > 0 significa que la fuerza es atractiva. En realidad este potencial engloba dos
tipos de potenciales distintos según que la potencia n-ésima sea positiva o negativa
V = k r n , V = − k
, k > 0 , n > 0 ,
rn de tal forma que ambos casos la fuerza es atractiva
(i) El potencial efectivo viene dado por
f = − nk r n−1 , f = − nk
, k > 0 , n > 0 .
rn+1 Vef(r) = k r n +
J 2
.
2mr2 La existencia de una órbita circular significa que esta función debe tener un máximo o un mínimo
V ′
ef (r) = nk rn−1 J 2
− = 0
mr3

4.1.
Órbitas cerradas y potenciales de Bertrand 43
cuya solución es
J 2 1/n+2 rc =
.
mnk
Por consiguiente, todo potencial de la forma V = k rn , k n > 0, admite una órbita circular con
radio r = rc.
(ii) La estabilidad de la órbita está relacionada con el comportamiento de la partícula cuando
sufre una pequeña perturbación. Si Vef(r) tiene un mínimo en rc entonces la partícula estará
atrapada en un entorno del mínimo y la órbita será estable. La segunda derivada V ′′
ef (r), particularizada
en r = rc, toma el valor
V ′′
ef (rc)
= n(n − 1)k r n−2 +
La condición V ′′
ef (rc) > 0 implica que n > − 2.
3J 2
mr4
J 2
= (n + 2)
r r=rc
4 .
c
Teorema 3 (Bertrand) Los únicos potenciales centrales cuyas órbitas acotadas son cerradas
representando movimientos periódicos son V = − k/r (potencial de Kepler) y V = k r 2 (oscilador
armónico).
La demostración de este teorema utiliza un desarrollo perturbativo alrededor de rc. Esto
significa considerar el comportamiento de la órbita cuando se sustituye rc por rc+∆r. Utilizando
la nueva variable u = 1/r se llega a una expresión de la forma
u = uc + a cos βθ , β 2 = 3 −
u df
f du
uc
= 3 +
r df
f dr rc
donde a es la amplitud que depende del incremento de energía respecto al valor correspondiente
a la órbita circular y β es una cantidad obtenida utilizando el desarrollo en serie de Taylor. Si β
es un número racional, cociente m/n de dos enteros, al cabo de n revoluciones el vector posición
volverá al punto inicial y la órbita será cerrada. A partir de esta expresión se obtiene en primer
lugar la expresión de la fuerza
f(r) = − k r β2 −3 ,
y posteriormente, introduciendo términos de orden superior, se demuestra que los únicos valores
permitidos son
β 2 = 1 , f(r) = − k
,
r2 β 2 = 4 , f(r) = −kr .
Esto significa que, si bien todos los potenciales centrales V (r) son importantes y poseen
propiedades interesantes (conservación del momento angular y órbitas planas), los dos potenciales
de Bertrand, oscilador armónico y problema de Kepler, son potenciales distinguidos dentro
de la familia de los potenciales centrales ya que son los únicos que conducen a órbitas cerradas
en el caso de movimientos acotados (en el caso de Kepler hay también movimientos no acotados).
Veremos a continuación que estos dos sistemas poseen otras propiedades interesantes
relacionadas con la existencia de constantes del movimiento adicionales.

44 Capítulo 4. El problema de Kepler y el oscilador armónico
4.2 El problema de Kepler y el vector de Laplace-Runge-Lenz
Supongamos un potencial central genérico V (r) con fuerza asociada f(r) y consideremos la
evolución temporal del producto vectorial de los vectores momento lineal y el momento angular
d
dt ( p ×
d
L ) =
dt p
×
d
L + p ×
dt
L
Teniendo en cuenta la segunda ley de Newton y la constancia del momento angular
de lo que se deduce que
d
p = f(r)r
dt r ,
d
dt ( p × L ) = m f(r)
r × (r × v )
r
d
dt L = 0 ,
= m f(r)
(r · v) r − (r · r ) v ,
r
donde hemos utilizado la siguiente propiedad del doble producto vectorial
Por otra parte, teniendo en cuenta
a × ( b × c ) = (a · c ) b − (a · b )c .
r · v = 1
2
d
1
(r · r ) =
dt 2
d
dt r2 = r v ,
obtenemos
d
dt ( p × L ) = m f(r)
r [ (r v) r − r2 v ] = mf(r)[ v r − r v ] ,
que se puede reescribir relacionando el término de la derecha con la derivada del cociente r/r
d
dt ( p × L ) = − mr 2
d r
f(r) (
dt r )
,
con lo que finalmente obtenemos la siguiente expresión
d
p ×
dt
L + (mr 2 f(r)) r
d
=
r dt (mr2
r
f(r))
r .
Hasta ahora todo los cálculos han sido efectuados para una fuerza central f(r) genérica.
Consideremos ahora la fuerza del problema de Kepler
V = − k
r
k
, f = − , k > 0 .
r2 En este caso r 2 f(r) es constante y en la ecuación anterior el miembro de la derecha es nulo. Se
obtiene, por consiguiente, la siguiente propiedad
d
dt A = 0 , A = p × L r
− (mk)
r

4.2. El problema de Kepler y el vector de Laplace-Runge-Lenz 45
El vector A se denomina vector de Laplace-Runge-Lenz y es una constante del movimiento
que caracteriza al problema de Kepler, esto es, solo en el caso de que el potencial V (r) sea
inversamente proporcional a r existe esta constante del movimiento.
El problema de Kepler posee por consiguiente un elevado número de cantidades conservadas.
Un potencial central V (r) es un sistema integrable que posee cuatro constantes del movimiento
independientes: la energía E y las tres componentes (Jx, Jy, Jz) del momento angular J. El
problema de Kepler tiene otras tres constantes, esto es, las tres componentes (Ax, Ay, Az) del
vector de Laplace-Runge-Lenz A. Ahora bien un sistema con tres grados de libertad posee
a lo sumo cinco constantes (independientes del tiempo) funcionalmente independientes. Esto
significa que que existen ciertas relaciones entre las funciones {E, Jx, Jy, Jz, Ax, Ay, Az} de tal
forma que dos de ellas se pueden expresar como funciones de las cinco restantes.
A continuación estudiaremos las características más importantes de este vector constante.
1. La definición de A permite afirmar que
A · J = 0
ya que J es perpendicular a p × L y también es perpendicular al vector posición r. De
esto se deduce que A debe ser un cierto vector fijo en el plano de la órbita.
2. Si calculamos el módulo de A utilizando las componentes cartesianas
obtenemos
Teniendo en cuenta que
obtenemos
Ax = pyJz − mk x
r , Ay = − pxJz − mk y
r , Az = 0 ,
pyJz
x
2
pxJz y
2 A = (mk) − + +
mk r mk r
= (mk) 1 + 2
mk2
1
2m (p2 x + p2 y) − k
r
r = x 2 + y 2 , E = 1
2m (p2 x + p 2 y) − k
r ,
A = (mk)
1 +
2EJ 2
= (mk)e .
mk2 Esto es, el módulo A del vector de Laplace-Runge-Lenz es, salvo una constante multiplicativa,
el valor e de la excentricidad de la órbita. Esta propiedad confiere a este vector un
sentido dinámico.

46 Capítulo 4. El problema de Kepler y el oscilador armónico
Conviene resaltar que hemos obtenido dos relaciones entre las siete constantes
(i) A · J = 0 , (ii) A 2 = m 2 k 2 + 2EJ 2 .
lo cual indica, tal como se ha comentado anteriormente, que solo cinco de estas constantes son
funcionalmente independientes.
El producto escalar del vector posición r por el vector A viene dado por
utilizando la propiedad
obtenemos
r · A = r · (p × L) − (mk)r
a · ( b × c ) = c · (a × b ) ,
r · A = J 2 − (mk)r .
Si denotamos por φ el ángulo que forma el vector posición r con la dirección fija de A, la fórmula
anterior que da de la forma
rA cos φ = J 2 − (mk)r
lo que permite obtener el valor de r como función del ángulo
1
r
mk
=
J 2
1 + A
mk
cos φ .
Esta expresión, que representa la ecuación de una cónica, coincide con la ecuación de la órbita
obtenida previamente integrando directamente las ecuaciones. Más aún, comparando ambas
expresiones podemos identificar el coeficiente del coseno con la excentricidad
e = A
mk
⇒ A = mke
lo que de nuevo permite identificar el módulo constante del vector de vector de Laplace-Runge-
Lenz con la excentricidad.
El vector A es un vector constante, situado a lo largo del semieje mayor de la elipse (órbitas
elípticas); teniendo en cuenta que cuando φ = 0 entonces r toma su valor mínimo se deduce que
A está dirigido hacia el perihelio (punto de distancia mínima) de la órbita.
A variety of alternative formulations for the same constant of motion may also be used. The
most common is to scale by mk to define the eccentricity vector
d
dt E = 0 , E = A
mk
1
=
mk (p × L) − r
r
Acabaremos este apartado con los dos comentarios siguientes:
(1) Hemos demostrado que, además de los dos métodos estudiados en apartados anteriores
(integración directa y ecuación de Binet) para obtener la solución del problema de Kepler,
existe un tercer método consistente en utilizar el vector de Laplace-Runge-Lenz. Más aún

4.3. El oscilador armónico y el tensor de Fradkin 47
hemos resuelto el problema utilizando procedimientos algebraicos, esto es, sin resolver ecuaciones
diferenciales ni calcular integrales.
(2) La existencia de esta constante del movimiento adicional fue probada por Laplace en
su curso de Mécanique Céleste publicado en 1799. Posteriormente este resultado fue redescubierto
de forma totalmente independiente por Hamilton en 1845. Sin embargo a pesar de estos
descubrimientos y redescubrimientos la existencia de este vector permaneció bastante ignorado
hasta que Carl Runge lo popularizó en un curso de Análisis Vectorial publicado en 1919 (traducido
al inglés en 1923) y Wilhelm Lenz lo utilizó en 1924 en el estudio cuántico del átomo de
hidrógeno.
4.3 El oscilador armónico y el tensor de Fradkin
Consideremos ahora el oscilador armónico tridimensional
V = 1
2 k r2 , f = k r , k = m ω 2 .
Se denomina tensor de Fradkin y se denota por F al tensor simétrico cuya representación matricial
en coordenadas cartesianas viene dado por
⎡
⎤
F = ⎣
F11 F12 F13
F21 F22 F23
F31 F32 F33
donde las componentes Fij denotan las siguientes funciones
⎦ ,
Fij = Fji = vivj + ω 2 0xixj , i, j = 1, 2, 3 .
Este tensor es importante por dos razones. En primer lugar porque cada una de las funciones
Fij es una constante del movimiento
d
dt Fij = 0 , i, j = 1, 2, 3 .
En segundo lugar porque determina totalmente la órbita y representa, para el oscilador armónico,
algo similar a lo que representa el vector de Laplace-Runge-Lenz es para el problema de Kepler.
Los elementos diagonales F11, F22, y F33 representan (salvo un factor un medio) las tres
energías unidimensionales, Ex, Ey, y Ez, de tal forma que la traza de F representa la energía
total
E = 1 1
tr F = 2 2 (F11 + F22 + F33) .
Esto significa la existencia de un total de nueve constantes del movimiento: las tres energías
parciales {F11, F22, F33}; los tres elementos no diagonales {F12, F13, F23} de F ; y las tres componentes
(J1, J2.J3) del momento angular J. Es obvio que no todas son independientes y que,

48 Capítulo 4. El problema de Kepler y el oscilador armónico
por consiguiente, deben existir relaciones funcionales entre ellas. Por ejemplo, se comprueba que
las siguientes relaciones son ciertas
Fij Jj = 0 ,
Ji Fij = 0 .
i
Esto significa que el vector momento angular J = (J1, J2.J3) es ortogonal a los vectores fila
(Fi1, Fi2, Fi3), i = 1, 2, 3, y a los vectores columna (F1j, F2j, F3j), j = 1, 2, 3, de la matriz F.
Otras relaciones entre estas cantidades son
F11F22 − F 2 12 = w 2 J 2 3 , F22F33 − F 2 23 = w 2 J 2 1 , F33F11 − F 2 31 = w 2 J 2 2 .
Otra propiedad de F, algo distinta ya que envuelve al vector posición r, viene dada por
r · F · r = (tr F) r 2 − J 2 ,
que desarrollada queda de la forma
Fij xi xj = (tr F)
i j
i
i
x 2 i −
J 2 i .
Dado que la órbita es plana, podemos escoger una orientación de los ejes cartesianos de
tal forma que el movimiento transcurra en el plano z = 0. El tensor de Fradkin estará ahora
representado por una matriz de dimensión dos
F11 F12
F =
con componentes
F21 F22
F11 = v 2 x + ω 2 0x 2 , F12 = vxvy + ω 2 0xy , F22 = v 2 y + ω 2 0y 2 ,
y la ecuaciones anteriores adoptan formas más sencillas. En particular se comprueba que la
siguiente igualdad es cierta
x 2 F22 − 2xyF12 + y 2 F11 = J 2 , (J = J3) .
En esta ecuación las tres cantidades F11, F12, F22, así como el momento angular J, son cantidades
conservadas que permanecen invariantes a lo largo del tiempo y deben ser considerados como
coeficientes constantes. Como consecuencia de ello, la relación anterior resulta una relación
cuadrática entre las variables x e y fácilmente identificable con la ecuación de una elipse en el
plano (x, y).
Realizando una rotación de los ejes coordenados (x, y) → (x ′ , y ′ ) se puede conseguir que se
anule el coeficiente F12 del término en x y y los nuevos ejes coordenados coincidan con los ejes
de simetría de la elipse. Esta transformación geométrica está directamente relacionada con la
diagonalización del tensor F. Los valores propios, λ1 y λ2, de F vienen dados por
λ1 = 1
2 [tr F + (tr F) 2 − 4ω 2 J 2 ] , λ2 = 1
2 [tr F − (tr F) 2 − 4ω 2 J 2 ] , λ1 > λ2 ,
i

4.4. La hodógrafa 49
de tal forma que
λ1 + λ2 = tr F , λ1 λ2 = ω 2 J 2 .
Los vectores propios (v1, v2) son ortogonales y determinan un nuevo sistema de ejes cartesianos.
La ecuación de la trayectoria será
x ′2
y′2
+
a2 b2 = 1 , a2 J 2
= , b
λ2
2 J 2
= .
λ1
Los valores propios, λ1 y λ2, pueden ser interpretados como las energías con respecto a los
movimientos a lo largo de los ejes de la elipse.
En resumen, el tensor F determina directamente la órbita; indica que la órbita es elíptica
de tal forma que los valores propios (λ1, λ2) determinan los semiejes (a, b) y los vectores propios
(v1, v2) la orientación de la elipse.
4.4 La hodógrafa
El vector velocidad de un cuerpo en movimiento es un vector tangente a la trayectoria espacial
de tal forma que, en el caso general de un movimiento curvilíneo, tanto la dirección como el
módulo sufren cambios de forma continua. Supongamos que el vector velocidad es trasladado y
colocado en el origen de un espacio que denominaremos espacio de las velocidades (el traslado se
realiza de forma paralela y sin introducir perturbaciones) entonces, cuando el cuerpo se mueve a
lo largo de la trayectoria, la punta del vector velocidad traza una curva que Hamilton denominó
hodógrafa.
4.4.1 La hodógrafa del problema de Kepler
Uno de los aspectos más interesantes del movimiento Kepleriano (movimiento a lo largo de una
cónica bajo la acción de una fuerza cuya magnitud es inversamente proporcional al cuadrado
de la distancia al centro de fuerzas) está relacionado con el movimiento en el espacio de las
velocidades (o en el espacio de los momentos).
En el caso particular de un movimiento circular uniforme, el módulo del vector velocidad
es constante de tal forma que la variación se reduce a un cambio en la orientación consistente
en una rotación uniforme alrededor del origen en el espacio de las velocidades. Es evidente que
en el caso del movimiento Kepleriano circular, asociado a la energía mínima Em, la hodógrafa
del vector velocidad será un círculo con centro situado en el propio origen del espacio de las
velocidades y con radio constante e igual a la magnitud de la velocidad. En el caso general, los
planetas y los satélites se mueven a lo largo de órbitas elípticas (órbitas cerradas) o a lo largo
de órbitas parabólicas o hiperbólicas (órbitas abiertas) y la rotación del vector velocidad será
no uniforme; esto significa que el vector velocidad sufrirá cambios tanto en la dirección como
en el módulo. Sin embargo Hamilton demostró en 1846 que estos cambios se equilibran de tal
forma que la punta del vector velocidad genera un círculo (o un arco de círculo) en el espacio
de las velocidades pero con un centro desplazado con respecto al origen. En otras palabras, la
hodógrafa del vector velocidad del movimiento Kepleriano es siempre un círculo.

50 Capítulo 4. El problema de Kepler y el oscilador armónico
Hamilton demostró que, si denotamos por (Ax, Ay, Az) las tres componentes del vector A de
Laplace-Runge-Lenz, entonces se cumple
vx + Ay
2
+ vy −
mJ
Ax
2 =
mJ
k
2 ,
J
que representa la ecuación de una una circunferencia en el plano (vx, vy) con centro en el punto
(1/mJ)(− Ay, Ax) y radio R = k/J.
En resumen, la hodógrafa del vector velocidad del problema de Kepler es un círculo.
4.4.2 La hodógrafa del oscilador armónico
Hemos visto (apartado 4.3) que, utilizando el tensor de Fradkin F, se puede escribir directamente
la ecuación de la trayectoria sin necesidad de resolver ecuaciones diferenciales o calcular integrales
Teniendo en cuenta que
F22x 2 − 2F12xy + F11y 2 = J 2 .
ω 2 0x 2 = F11 − v 2 x , ω 2 0xy = F12 − vxvy , ω 2 0y 2 = F22 − v 2 y ,
podemos reescribir la ecuación anterior de la siguiente forma
F22(F11 − v 2 x) − 2F12(F12 − vxvy) + F11(F22 − v 2 y) = ω 2 0J 2 .
Al desarrollar esta expresión obtenemos
2(F11 F22 − F 2 12) − F22v 2 x + 2F 2 12vxvy − F11v 2 y = ω 2 0J 2 .
El primer sumando de la izquierda es precisamente dos veces el valor del determinante del tensor
de Fradkin
Incorporando su valor llegamos a
det F = ω 2 0J 2 , (J = J3) .
F22v 2 x − 2F 2 12vxvy + F11v 2 y = ω 2 0J 2 .
En esta ecuación las variables son vx y vy; las otras cantidades F11, F12, F22 y J son cantidades
conservadas que permanecen invariantes. Por consiguiente esta ecuación es la ecuación de una
elipse en el plano (vx, vy).
En resumen, la hodógrafa del vector velocidad del oscilador armónico es una elipse.

Bibliografía 51
Bibliografía
[Be1873] M.J. Bertrand, “Théoréme relatif au mouvement d’un point attiré vers un centre
fixe”, Comptes Rendus de l’Academie des Sciences LXXVII, no. 16, 849–854 (1873).
[Cordani] B. Cordani, The Kepler problem : Group theoretical aspects, regularization and
quantization, with application to the study of perturbations, Progress in Mathematical
Physics vol. 29, 439 pp. (Birkháuser Verlag, 2003).
[Fr65] D.M. Fradkin, “Three-dimensional isotropic harmonic oscillator and SU3”, Amer.
J. Phys. 33, no. 3, 207–211 (1965).
[Go75] H. Goldstein, “Prehistory of the ‘Runge-Lenz’ vector”, Am. J. Phys. 43, no. 8,
737–738 (1975)
[Go76] H. Goldstein, “More on the prehistory of the Laplace or Runge-Lenz vector”, Am.
J. Phys. 44, no. 11, 1123–1124 (1976)
[Ha1847] W.R. Hamilton, “The Hodograph, or a new method of expressing in symbolical
language the Newtonian law of attraction”, Proc. Royal Irish Academy, vol. 3, 344–
353 (1847).
[LeFl03] P.G. Leach, G.P. Flessas, “Generalisations of the Laplace-Runge-Lenz vector”,
J. Nonlinear Math. Phys. 10, no. 3, 340–423 (2003).

Capítulo 5
Sistemas Separables I
1. Introducción
2. Potenciales separables en dos dimensiones
3. Coordenadas Ortogonales
4. La Ec. de H-J de nuevo
5. Sistema de Hénon-Heiles
6. Sistemas Integrables con constantes cúbicas
5.1 Introducción
Todo sistema H-J separable es integrable pero el recíproco no es cierto; existen sistemas que
son integrables pero no son separables. En una primera aproximación se puede afirmar que los
sistemas separables suelen ser más fáciles de estudiar que los no separables. Esto es debido a
que en el primer caso se puede utilizar la ecuación de H-J (Schroedinger en el caso cuántico) y
también a que las constantes del movimiento son polinomios de grado dos en los momentos. Las
constantes del movimiento que son polinomios de grado superior (o son funciones no polinómicas)
están asociadas a sistemas no separables.
5.2 Potenciales separables en dos dimensiones
5.2.1 Teorema de Bertrand-Darboux
Proposición 5 Sea H un Hamiltoniano bi-dimensional de tipo mecánico dado por
52
H = ( 1
2 )(p2 x + p 2 y) + V (x, y) .

5.2. Potenciales separables en dos dimensiones 53
Entonces las siguientes tres propiedades son equivalentes
(i) El sistema Hamiltoniano admite una constante del movimiento I
cuadrática en los momentos
d
I = 0
dt
I = I22 + I20(x, y) ,
I22 = a(x, y)p 2 x + 2b(x, y)pxpy + c(x, y)p 2 y .
(ii) La ecuación de Hamilton–Jacobi es separable en al menos uno de los siguientes sistemas
de coordenadas
Cartesiano, Polar, Elíptico (Elíptico-Hiperbólico), o Parabólico.
(iii) Existe un conjunto de constantes no todas nulas
{a0, b0, c0; a1, c1; a2},
tal que el Potencial V (x, y) es solución de la siguiente Ec. en Der. Par.
b(Vyy − Vxx) + (a − c)Vxy + (ay − bx)Vx + (by − cx)Vy = 0 ,
donde las tres funciones a, b, c, vienen dadas por
5.2.2 Comentarios y propiedades
a(x, y) = a0 + a1y + a2y 2 ,
b(x, y) = ( 1
2 )(b0 − a1x − c1y − 2a2xy) ,
c(x, y) = c0 + c1x + a2x 2 .
Cada elección de los parámetros {a0, b0, c0; a1, c1; a2} determina una Ec. en Der. Par. de
segundo orden cuya solución será una familia de potenciales Vuv = V (u, v) dependiente de dos
funciones u = u(x, y) y v = v(x, y) que poseerán una constante del movimiento I2 cuadrática en
las velocidades
{a0, b0, c0; a1, c1; a2} → Vuv → I2 = I22 + I20 .
Dos propiedades inmediatas son las siguientes:
(i) La función V no aparece en la ecuación ya que tan solo intervienen las derivadas de V con
respecto a las variables x e y. Por consiguiente, si V es una solución entonces también lo
será V + k, donde k es una constante cualquiera.

54 Capítulo 5. Sistemas Separables I
(ii) En el caso particular {a0 = e0, 0, c0 = e0; 0, 0; 0} la ecuación se reduce a una identidad
(válida para cualquier función V ) y la integral I2 es simplemente la energía
{a0 = e0, 0, c0 = e0; 0, 0; 0} → V → I2 = 1
2 (p2 x + p 2 y) + V (x, y) .
Cualquier otra elección “no trivial” de {a0, b0, c0; a1, c1; a2} corresponderá a la existencia
de una constante cuadrática adicional.
Volviendo a la constante I
I = I22 + I20(x, y)
si tenemos en cuenta que las tres funciones a, b y c, vienen dadas por
a(x, y) = a0 + a1y + a2y 2 ,
b(x, y) = ( 1
2 )(b0 − a1x − c1y − 2a2xy) ,
c(x, y) = c0 + c1x + a2x 2 ,
obtenemos que la parte cuadrática I22 dada por
se puede reescribir de la forma
I22 = a(x, y)p 2 x + 2b(x, y)pxpy + c(x, y)p 2 y ,
I22 = a0p 2 x + c0p 2 y + b0pxpy + a1px(ypx − xpy) + c1py(xpy − ypx) + a2(ypx − xpy) 2 .
Utilizando la notación J para el momento angular, esto es J = ypx − xpy, se puede reescribir
I22 de la siguiente forma
I22 = a0p 2 x + c0p 2 y + b0pxpy + a1pxJ − c1pyJ + a2J 2 .
Proposición 6 Sea H un Hamiltoniano bi-dimensional de tipo mecánico dado por
H = ( 1
2 )(p2 x + p 2 y) + V (x, y) ,
y supongamos que H admite una constante del movimiento I cuadrática en los momentos
I = I22 + I20(x, y) ,
I22 = a(x, y)p 2 x + 2b(x, y)pxpy + c(x, y)p 2 y .
Entonces el término I22 es una combinación lineal de todos los posibles productos
p 2 x , p 2 y , pxpy , pxJ , pyJ , J 2 ,
entre los momentos lineales px y py y el momento angular J.
Conviene resaltar que la Ec. Dif.
b(Vyy − Vxx) + (a − c)Vxy + (ay − bx)Vx + (by − cx)Vy = 0 ,
se puede escribir de varias formas alternativas como por ejemplo
2b(Vyy − Vxx) + 2(a − c)Vxy + 3ayVx − 3cxVy = 0 .

5.2. Potenciales separables en dos dimensiones 55
5.2.3 Casos particulares
A continuación analizaremos los seis casos particulares en los que tan solo una de las seis constantes
es no nula.
(i) Supongamos (a0 = 0, b0 = c0 = 0, a1 = c1 = d2 = 0). Entonces todo potencial que sea
solución de la siguiente Ec. Dif.
Vxy = 0
es separable y posee una constante del movimiento cuadrática de la forma
I = p 2 x + I20(x, y) .
(ii) Supongamos (c0 = 0, a0 = b0 = 0, a1 = c1 = d2 = 0). Entonces todo potencial que sea
solución de la siguiente Ec. Dif.
Vxy = 0
es separable y posee una constante del movimiento cuadrática de la forma
I = p 2 y + I20(x, y) .
(iii) Supongamos (b0 = 0, a0 = c0 = 0, a1 = c1 = d2 = 0). Entonces todo potencial que sea
solución de la siguiente Ec. Dif.
Vxx − Vyy = 0
es separable y posee una constante del movimiento cuadrática de la forma
I = pxpy + I20(x, y) .
(iv) Supongamos (a1 = 0, a0 = b0 = c0 = 0, c1 = d2 = 0). Entonces todo potencial que sea
solución de la siguiente Ec. Dif.
Vyy − Vxx − 2yVxy − 2Vx = 0
es separable y posee una constante del movimiento cuadrática de la forma
I = pxJ + I20(x, y) .
(v) Supongamos (c1 = 0, a0 = b0 = c0 = 0, a1 = d2 = 0). Entonces todo potencial que sea
solución de la siguiente Ec. Dif.
Vyy − Vxx + 2xVxy + 2Vy = 0
es separable y posee una constante del movimiento cuadrática de la forma
I = pyJ + I20(x, y) .

56 Capítulo 5. Sistemas Separables I
(vi) Supongamos (d2 = 0, a0 = b0 = c0 = 0, a1 = c1 = 0). Entonces todo potencial que sea
solución de la siguiente Ec. Dif.
xy(Vyy − Vxx) + (y 2 − x 2 )Vxy + 3yVx − 3xVy = 0
es separable y posee una constante del movimiento cuadrática de la forma
5.3 Coordenadas Ortogonales
5.3.1 Propiedades generales
I = J 2 + I20(x, y) .
Un tensor métrico general grs determina un elemento diferencial de línea ds2 de la forma
ds 2 =
grs dq r dq s ,
Los operadores gradiente, divergencia y Laplaciano vienen dados por
(grad U) i =
div v =
∇ 2 Φ =
j
r,s
ij ∂U
g
∂qj 1
det[g] 1/2
1
det[g] 1/2
j
j r
∂
∂qj
det[g] 1/2 v j
∂
∂q j
det[g] 1/2 g
jr ∂Φ
∂qr
donde hemos utilizado la notación det[g] = det[gij].
Un sistema de coordenadas curvilíneas {q j , j = 1, 2, . . . , n} determina n familias de superficies
q j = cte (en términos de geometría diferencial el espacio total queda foliado por n foliaciones
distintas). Un sistema de coordenadas se denomina ortogonal si cada familia de superficies
intersecta a las otras formando ángulos rectos. Esto significa que el tensor métrico gij asociado
a un sistema de coordenadas ortogonales satisface la siguiente condición adicional
gij = δij h 2 j ,
donde δij es la delta de Kronecker y hj, j = 1, 2, . . . , n, son funciones denominadas factores de
escala y definidas como el módulo de la variación que sufre el vector r con respecto a qj
hj =
∂r
∂qj
esto es h 2 j = ( ∂x1
)
∂qj
2 + ( ∂x2
)
∂qj
2 + · · · + ( ∂xn
)
∂qj
2 .
En este caso el elemento de línea ds2 es de la forma
ds 2 =
(hk dqk) 2 , gkk = h 2 k (Recordemos que gij = 0 , i = j)
k

5.3. Coordenadas Ortogonales 57
y el elemento de volumen viene dado por
dV = Ω dq1dq2 · · · dqn ,
donde Ω denota el producto Ω = h1h2 · · · hn.
Los tres operadores diferenciales, gradiente, divergencia y Laplaciano, adoptan formas bastante
más sencillas que se pueden expresar utilizando las funciones h
∇U =
1 ∂U
êk ,
5.3.2 Coordenadas Cartesianas
hk ∂qk
k
∇ · v = 1 ∂
Ω
vk
,
Ω ∂qk hk
k
∇ 2 Φ = 1 ∂
Ω ∂Φ
Ω ∂qk ∂qk
k
El tensor gij es diagonal con componentes g11 = g22 = 1, g12 = g21 = 0. Consecuentemente, los
elementos infinitesimales de longitud ds 2 y área dA vienen dados
y el operador Laplaciano ∇ 2 Φ es de la forma
5.3.3 Coordenadas polares
h 2 k
.
ds 2 = dx 2 + dy 2 , dA = dx dy ,
∇ 2 Φ = ∂2Φ ∂x2 + ∂2Φ ∂y
Las coordenadas polares (r, φ) vienen dadas por
2 .
(x, y) → (r, φ), x = r cos φ , y = r sen φ .
Los factores de escala (hr, hφ), asociados a las coordenadas (r, φ), vienen dados por
hr =
∂¯r
∂r
=
( ∂x
∂r )2 + ( ∂y
∂r )2 = cos2 φ + sen2 hφ =
φ ,
∂¯r
∂φ
=
( ∂x
∂φ )2 + ( ∂y
∂φ )2 = r2 sen2 φ + r2 cos2 φ ,
que conducen a
hr = 1 , hφ = r .
El tensor gij es diagonal con componentes g11 = 1, g22 = r 2 , g12 = g21 = 0. Consecuentemente,
los elementos infinitesimales de longitud y área vienen dados
ds 2 = dr 2 + r 2 dφ 2 , dA = r dr dφ ,

58 Capítulo 5. Sistemas Separables I
y el operador Laplaciano ∇2Φ es de la forma
∇ 2 Φ = 1
∂
r
r ∂r
∂Φ
∂r
5.3.4 Coordenadas elípticas
+ 1 ∂
r
2Φ ∂φ2
.
Las coordenadas elípticas son un sistema bi-dimensional de coordenadas ortogonales en el que
las líneas coordenadas son elipses e hipérbolas confocales. Los dos focos, F1 y F2, se suelen
situar en dos puntos −a y +a simétricos con respecto al origen y situados en el eje x de un
sistema Cartesiano de coordenadas.
La definición más habitual de coordenadas elípticas (µ, ν) es de la forma
x = a cosh µ cos ν
y = a senh µ sen ν
donde µ es un número real no negativo y ν ∈ [0, 2π). Se puede ver que estas expresiones
conducen a familias de elipses e hipérbolas. La igualdad trigonométrica
x2 a2 cosh 2 µ +
y2 a2 senh 2 µ = cos2 ν + sen 2 ν = 1
muestra que las curvas con µ constante forman una familia uni-paramétrica de elipses. Análogamente,
la igualdad trigonométrica hiperbólica
x2 a2 cos2 ν −
y2 a2 sen2 ν = cosh2 µ − senh 2 µ = 1
muestra que las curvas con ν constante forman una familia uni-paramétrica de hipérbolas.
Los factores de escala (hµ, hν) determinados por (µ, ν) vienen dados por
hµ =
hν =
∂r
∂µ
=
( ∂x
∂µ )2 + ( ∂y
∂µ )2 =
∂r
∂ν
=
( ∂x
∂ν )2 + ( ∂y
∂ν )2 =
Realizando las operaciones adecuadas se obtiene
hµ = hν = a senh 2 µ + sen2 ν .
(a 2 senh 2 µ cos 2 ν) + (a 2 cosh 2 µ sen 2 ν) ,
(a 2 cosh 2 µ sen 2 ν) + (a 2 senh 2 µ cos 2 ν) ,
Consecuentemente, los elementos infinitesimales de longitud y área vienen dados por
ds 2 = a 2 (senh 2 µ + sen 2 ν) (dµ 2 + dν 2 ) ,
dA = a 2 (senh 2 µ + sen 2 ν) dµ dν ,
y el operador Laplaciano ∇2Φ es de la forma
∇ 2 1
Φ =
a2 (senh 2 µ + sen2
∂2Φ ν) ∂µ 2 + ∂2Φ ∂ν 2
.

5.3. Coordenadas Ortogonales 59
5.3.5 Coordenadas parabólicas
Las coordenadas parabólicas son un sistema bi-dimensional de coordenadas ortogonales en el que
las líneas coordenadas son parabólas confocales. Se puede obtener una versión tridimensional
de este sistema por rotación de las curvas bidimensionales alrededor del eje de simetría de las
parábolas.
La forma más habitual de definir las coordenadas parabólicas (σ, τ) es utilizando las siguientes
ecuaciones
Eliminando τ obtenemos
x = στ
y = 1 2 (τ 2 − σ 2 )
2y = x2
σ 2 − σ2 ,
que representa una familia uni-paramétrica de parabólas confocales abiertas hacia arriba (i.e.,
hacia +y). Análogamente, eliminando σ obtenemos
2y = − x2
τ 2 + τ 2 ,
que representa una familia uni-paramétrica de parabólas confocales abiertas hacia abajo (i.e.,
hacia −y). En ambos casos los focos están situados en el origen.
Los factores de escala (hσ, hτ ) determinados por (σ, τ) vienen dados por
Por consiguiente
hσ =
hτ =
∂¯r
∂σ
=
( ∂x
∂σ )2 + ( ∂y
∂σ )2 = τ 2 + σ2
∂¯r
∂τ
=
( ∂x
∂τ )2 + ( ∂y
∂τ )2 = σ2 + τ 2
hσ = hτ = σ 2 + τ 2 .
Consecuentemente, los elementos infinitesimales de longitud y área vienen dados por
y el operador Laplaciano ∇ 2 Φ es de la forma
ds 2 = (σ 2 + τ 2 ) (dσ 2 + dτ 2 ) ,
dA = (σ 2 + τ 2 ) dσ dτ ,
∇ 2 Φ =
1
(σ2 + τ 2
∂2Φ ) ∂σ2 + ∂2Φ ∂τ 2
.

60 Capítulo 5. Sistemas Separables I
5.3.6 Relación entre los cuatro sistemas de coordenadas
Se puede considerar el sistema Elíptico (Elíptico-Hiperbólico) como el sistema más general de tal
forma que los otros tres (Cartesiano, polar, y parabólico) se pueden obtener como casos límite
del anterior.
Si denotamos por F1 y F2 los dos focos entonces :
(i) El sistema polar aparece como el límite del elíptico cuando los dos focos F1 y F2 convergen
hacia el mismo punto F .
(ii) El sistema parabólico aparece como el límite del elíptico cuando uno de los focos (por
ejemplo F1) permanece fijo y el otro foco se desplaza hacia el infinito.
(iii) El sistema cartesiano aparece como el límite del elíptico cuando los dos focos F1 y F2 se
marchan hacia el infinito.
5.4 La Ec. de H-J de nuevo
Estudiaremos en esta sección la separabilidad de la Ec. de H-J en los dos primeros sistemas de
coordenadas: Cartesianas y polares.
5.4.1 Separabilidad de la Ec. de H-J: Coordenadas Cartesianas
Consideremos el siguiente Lagrangiano
L = ( 1
2 )m(v2 x + v 2 y) − λ V (x, y) (λ es una constante) .
Teniendo en cuenta que los momentos px y py vienen dados por
px = mvx , py = mvy ,
obtenemos la siguiente expresión para el Hamiltoniano
H = ( 1
2m )(p2 x + p 2 y) + λ V (x, y) .
Consecuentemente, la Ec. de H-J es una Ec. Dif. de la forma
( 1
2m )
∂W
2
∂W
2 + + λ V = E .
∂x ∂y
Supongamos que el potencial V (x, y) es suma de dos sumandos de la forma
V = U1(x) + U2(y) ,
entonces la Ec. de H-J admite separabilidad. En efecto, suponiendo que la función W es de la
forma
W (x, y) = W1(x) + W2(y) ,

5.4. La Ec. de H-J de nuevo 61
entonces la Ec. de H-J se descompone en dos Ec. unidimensionales
∂W2 2
+ 2mλ U2
∂y
∂W1 2
+ 2mλ U1
∂x
=
=
2mα2
2mE − 2mα2
⎫
⎪⎬
⎪⎭
que pueden ser integradas directamente
W1 = √
α1 2m − λ U1 dx , W2 = √
α2 2m − λ U2 dy ,
donde hemos utilizado la notación α1 = E − α2. Las nuevas coordenadas Q1 y Q2 vienen dadas
por
lo que conduce a
t + β1 =
Q1 = t + β1 = ∂W1
∂α1
m
2
, Q2 = t + β2 = ∂W2
∂α2
dx
m
√ , t + β2 =
α1 − λ U1
2
En resumen, hemos probado la siguiente propiedad :
Proposición 7 Si el potencial V (x, y) es de la forma
V = U1(x) + U2(y) ,
,
dy
√ .
α2 − λ U2
entonces el Hamiltoniano H es H-J separable en coordenadas Cartesianas (x, y). El sistema es
integrable con dos ctes del movimiento cuadráticas
de tal forma que H = I1 + I2.
I1 = ( 1
2m )p2 x + λ U1(x) , I2 = ( 1
2m )p2 y + λ U2(x) ,
5.4.2 Separabilidad de la Ec. de H-J: Coordenadas Polares
Consideremos el siguiente Lagrangiano
L = ( 1
2 )m(v2 r + r 2 v 2 φ ) − λ V (r, φ) (λ es una constante) .
Teniendo en cuenta que los momentos pr y pφ vienen dados por
pr = mvr , pφ = mr 2 vφ ,
obtenemos la siguiente expresión para el Hamiltoniano
H(r, φ, pr, pφ) = ( 1
2m )
p 2 r + p2 φ
r 2
+ λ V (r, φ) .

62 Capítulo 5. Sistemas Separables I
Consecuentemente, la Ec. de H-J es una Ec. Dif. de la forma
( 1
2m )
∂W
2 +
∂r
1
r2
∂W
2 + λ V = E .
∂φ
Supongamos que el potencial V , escrito en coordenadas (r, φ), es de la forma
V = F (r) + G(φ)
r 2 ,
entonces la ecuación de H-J, que queda de la siguiente forma
1
∂W
2
+ λF (r) +
2m ∂r
1
r2
1
∂W
2
+ λ G(φ) = E ,
2m ∂φ
admite separabilidad. En efecto, supongamos que W es suma de una función radial y una
función angular
W (r, φ) = W1(r) + W2(φ) ,
entonces la Ec. de H-J se descompone en dos Ec. unidimensionales
que pueden ser integradas directamente
∂W1 2
+ 2m(λ F − E) = −
∂r
2mα2
r2
∂W2 2
+ 2mλ G = 2mα2
∂φ
W1 = √
2m (E − λ F ) − α2
r2 dr , W2 = √
α2 2m − λ G dφ ,
donde hemos utilizado la notación α1 = E − α2. Las nuevas coordenadas Q1 y Q2 vienen dadas
por
Q1 = t + β1 = ∂W1
, Q2 = t + β2 =
∂α1
∂W
,
∂α2
lo que conduce a
t + β1 =
m
2
dr
,
(E − λ F ) − α2/r2 que permite obtener r como función de t. Análogamente la ecuación t + β2 = ∂W/∂α2 permite
obtener el valor de la coordenada φ.
En resumen, hemos probado la siguiente propiedad :
Proposición 8 Si el potencial V (r, φ) es de la forma
V = F (r) + G(φ)
r 2 ,
⎫
⎪⎬
⎪⎭

5.5. Sistema de Hénon-Heiles 63
entonces el Hamiltoniano H es H-J separable en coordenadas polares (r, φ). El sistema es integrable
con dos ctes del mvto cuadráticas
I1 = ( 1
2m )
p 2
1 − r2 r +
r2
p 2
1 − r2 φ + λ F (r) +
r2
G(φ)
I2 = ( 1
2m ) p2 φ + λG(φ)
de tal forma que H = I1 + I2.
Conviene resaltar que un potencial central, esto es un potencial de la forma V = V (r),
aparece como el caso particular G(φ) = 0; en este caso la segunda constante es simplemente
I2 = pφ.
5.5 Sistema de Hénon-Heiles
Hénon y Heiles estudiaron hacia 1964 [HeHe64, He83], utilizando básicamente técnicas numéricas,
un oscilador armónico bidimensional con un acoplamiento cúbico entre los dos grados de libertad
. El Lagrangiano del sistema es
ILɛ = 1
2 (v2 x + v 2 y) − V (x, y) , V (x, y) = 1
2 (Ax2 + By 2 ) + λ (x 2 y + ɛ y 3 ) .
de tal forma que el término x 2 y rompe la separación en coordenadas cartesianas; la consecuencia
es que la energía total J1 = E sigue siendo constante del movimiento pero ya no es la suma de
dos energías unidimensionales Ex y Ey. Por otra parte el parámetro ɛ gradúa la relación entre
los dos términos cúbicos, x 2 y e y 3 .
Dado que n = 2, la integrabilidad significa la existencia de una segunda constante J2 (J1 es
la energía). En general el sistema es no integrable. Solo se conocen tres situaciones en las que
es integrable :
(i) ɛ = 1/3, B = A,
(ii) ɛ = 2, A y B arbitrarios,
(iii) ɛ = 16/3, B = 16A.
Los dos primeros casos, (i) y (ii), son Hamilton-Jacobi separables con J2 cuadrática en las
velocidades. El caso (iii) es no separable y la segunda constante J2 es de cuarto orden en las
velocidades.
A continuación consideramos separadamente cada uno de estos tres casos
(i) ɛ = 1/3, B = A.
El sistema es separable en coordenadas Cartesianas rotadas u = x + y, v = x − y. La
segunda constante es
J2 = (vxvy + Axy) + λ [ ( 1
3 ) x3 + xy 2 ] .

64 Capítulo 5. Sistemas Separables I
Cuando λ → 0 la función J2 converge hacia una constante del movimiento del oscilador
armónico isotrópico
lim λ→0J2 = vxvy + Axy .
(ii) ɛ = 2, A y B arbitrarios.
El sistema es separable en coordenadas parabólicas trasladadas. La segunda constante es
J2 = ( 1
2 ) (v2 x + Ax 2 2 λ
) −
4A − B [K2 − λ K0] , B = 4A ,
donde hemos utilizado la siguiente notación
J2 = K2 − λ K0 , B = 4A ,
K2 = Jvx − (Ax 2 )y , J = yvx − xvy , K0 = ( 1
4 ) x4 + x 2 y 2 .
Cuando λ → 0 la función J2 converge hacia una de las energías unidimensionales
lim λ→0J2 = ( 1
2 ) (v2 x + Ax 2 ) , B = 4A .
(iii) ɛ = 16/3, B = 16A.
En este caso el sistema no es separable y la segunda constante es un polinomio de cuarto
orden en las velocidades
J2 = E 2 x + λ[ (yvx − 1
3 xvy) x 2 vx − 1
3 (Ax2 )x 2 y ] − λ2
3 K0 ,
donde hemos utilizado la siguiente notación
Cuando λ → 0 obtenemos
Ex = ( 1
2 ) (v2 x + Ax 2 ) , K0 = ( 1
6 ) x6 + x 4 y 2 .
lim λ→0J2 = E 2 x .
El sistema de Hénon-Heiles ilustra claramente lo frágil que es la propiedad de integrabilidad.
En la mayoría de los casos un sistema integrable que sufre una pequeña modificación o perturbación
deja de ser integrable. En el lenguaje de las simetrías, el sistema original (integrable)
posee simetrías (exactas u ocultas) y el nuevo sistema perturbado carece de simetrías.
Finalizaremos resaltando que el sistema de Hénon-Heiles ha sido muy estudiado no solo en
estos tres casos particulares, importantes por ser integrables, sino también en el caso general no
integrable.

5.6. Sistemas Integrables con constantes cúbicas 65
5.6 Sistemas Integrables con constantes cúbicas
Un sistema bidimensional que posee una constante cúbica en las velocidades (momentos)
I = I3 + e(x, y)vx + f(x, y)vy ,
I3 = a(x, y)v 3 x + b(x, y)v 2 xvy + c(x, y)vxv 2 y + d(x, y)v 3 y ,
es un sistema integrable pero no separable.
• Potencial de Fokas y Lagerstrom :
Fokas y Lagerstrom encontraron en 1980 [FoLa80] el siguiente potencial integrable
VF L = k (x 2 − y 2 ) −2/3 .
La constante del movimiento, que es cúbica en las velocidades, viene dada por
• Potencial de Holt :
IF L = (xvy − yvx)(v 2 x − v 2 y) − 4k (x 2 − y 2 ) −2/3 (yvx + xvy) .
Holt obtuvo en1982 [Ho82] el siguiente potencial integrable
VH = k1V 1 H + k2V 2 H + k3V 3 H
V 1 H = y −2/3 , V 2 H = x y −2/3 , V 3 H = (4x 2 + 3y 2 ) y −2/3 ,
donde ki, i = 1, 2, 3, son constantes arbitrarias. La constante del movimiento, que es
cúbica en las velocidades, viene dada por
Bibliografía
• Separabilidad
IH = 2v 3 x + 3vxv 2 y + 6(k1 + k2x + k3(4x 2 − 6y 2 ))y −2/3 vx + (9k2 + 72k3x)y −1/3 vy .
[Be97] S. Benenti, “Intrinsic characterization of the variable separation in the Hamilton-
Jacobi equation”, J. Math. Phys. 38, no. 12, 6578–6602 (1997).
[KaMi86] E.G. Kalnins, W. Miller, “Separation of variables on n-dimensional Riemannian
manifolds. The n-sphere S n and Euclidean n-space R n ”, J. Math. Phys. 27, no. 7,
1721–1736 (1986).
[MaWo88] I. Marshall, S. Wojciechowski, “When is a Hamiltonian system separable ?”,
J. Math. Phys. 29, no. 6, 1338–1346 (1988).

66 Capítulo 5. Sistemas Separables I
[WaWo03] C. Waksjo, S. Rauch-Wojciechowski, “How to find separation coordinates for
the Hamilton-Jacobi equation: a criterion of separability for natural Hamiltonian
systems”, Math. Phys. Anal. Geom. 6, no. 4, 301–348 (2003).
• Sistema de Hénon-Heiles
[CaRa99] J.F. Cariñena, M.F. Rañada, “Helmholtz conditions and alternative Lagrangians:
study of an integrable Hénon-Heiles system”, Internat. J. Theoret. Phys. 38, no. 7,
2049–2061 (1999).
[Fo83] A.P. Fordy, “Hamiltonian symmetries of the Hénon-Heiles system”, Phys. Lett. A
97, no. 1-2, 21–23 (1983).
[HeHe64] M. Hénon, C. Heiles, “The applicability of the third integral of motion: Some
numerical experiments”, Astronom. J. 69, 73–79 (1964).
[He83] M. Hénon, “Numerical exploration of Hamiltonian systems. Chaotic behavior of
deterministic systems”, (Les Houches, 1981), 53–170 (North-Holland, Amsterdam-
New York, 1983).
[RaGC93] V. Ravoson, L. Gavrilov, R. Caboz, “Separability and Lax pairs for the Hénon-
Heiles system”, J. Math. Phys. 34, no. 6, 2385–2393 (1993).
[Sa91] W. Sarlet, “New aspects of integrability of generalized Hénon-Heiles systems”, J.
Phys. A 24, no. 22, 5245–5251 (1991).
[Sm98] R.G. Smirnov, “Integrability of the Hénon-Heiles system”, Appl. Math. Lett. 11 ,
no. 3, 71–74 (1998).
• Sistemas integrables con constantes cúbicas
[FoLa80] A.S. Fokas, P.A. Lagerstrom, “Quadratic and cubic invariants in classical mechanics”,
J. Math. Anal. Appl. 74, no. 2, 325–341 (1980).
[Gr04] S. Gravel, “Hamiltonians separable in Cartesian coordinates and third-order integrals
of motion”, J. Math. Phys. 45, 1003–1019 (2004).
[Ho82] C.R. Holt, “Construction of new integrable Hamiltonians in two degrees of freedom”,
J. Math. Phys. 23, no. 6, 1037–1046 (1982).
[Th82] G. Thompson, “Polynomial constants of motion in flat space”, J. Math. Phys. 25,
no. 12, 3474–3478 (1982).

Capítulo 6
Sistemas Separables II
1. Introducción
2. Sistemas de Liouville
3. Sistemas de Stäckel
4. Condición de Levi-Civita
5. Webs, vectores de Killing y tensores de Killing
6.1 Introducción
El capítulo anterior estuvo centrado en el estudio de sistemas separables bidimensionales. Este
capítulo está dedicado al estudio de sistemas separables n-dimensionales. Grosso modo está
dividido en dos partes. Primero se estudian sistemas concretos como son los sistemas de Liouville
y los sistemas de Stäckel. Posteriormente se estudian propiedades generales: las condiciones de
Levi-Civita y su relación con los tensores de Killing.
6.2 Sistemas de Liouville
Un tipo de sistemas que son obviamente integrables por cuadraturas está constituido por los
sistemas Lagrangianos de la forma L = T − V con T y V de la siguiente forma
T = 1
2
V =
n
j=1
aj(qj)v 2 j = 1
2 a1(q1)v 2 1 + . . . + 1
2 an(qn)p 2 n ,
n
Vj(qj) = V1(q1) + . . . + Vn(qn) .
j=1
67

68 Capítulo 6. Sistemas Separables II
Las funciones a1, . . . , an y V1, . . . , Vn son funciones arbitrarias de sus respectivos argumentos. Es
claro que el sistema de ecuaciones de Euler-Lagrange se desacopla en n ecuaciones diferenciales
independientes entre sí
lo que conduce a n integrales primeras
d
dt [aj(qj)vj] − 1
2 a′ jv 2 j = −V ′
j , j = 1, 2, . . . , n,
1
2 aj(qj)v 2 j + Vj(qj) = Ej , j = 1, 2, . . . , n.
Por integración directa se obtiene
t = 1
√
2
aj(qj)
Ej − Vj(qj) dqj + cj , j = 1, 2, . . . , n.
Estas n ecuaciones representan la solución de la dinámica expresada de la forma t = t(qj).
Liouville estudió (Liouville 1849) una generalización de estos sistemas.
Se denominan sistemas de Liouville a los sistemas Hamiltonianos de la forma
con T y V dados por
T = 1 1
2 w
V = 1
w
n
j=1
n
j=1
donde w denota la siguiente función
w =
Las ecuaciones de Hamilton son
H = T + V
aj(qj)p 2 j = 1
2w a1(q1)p 2 1 + . . . + 1
2w an(qn)p 2 n
Uj(qj) = 1
w U1(q1) + . . . + 1
w Un(qn)
n
wj(qj) = w1(q1) + . . . + wn(qn) .
j=1
qj ˙ = ∂H
∂pj
pj ˙ = − ∂H
∂qj
Se comprueba que las n funciones
= 1
w ajpj
= − 1
w
1
2
daj
dqj
p 2 j + dUj
dqj
− dwj
dqj
H
Fr = 1
2 ar(qj)p 2 r + Ur − wrH , r = 1, 2, . . . , n,

6.2. Sistemas de Liouville 69
son todas ellas constantes del movimiento
{Fr , H} = 0 , r = 1, 2, . . . , n.
Estas funciones no son independientes entre sí sino que están ligadas entre sí por la siguiente
relación
n n
1
Fr = 2 ar(qj)p 2
r + Ur − w H = 0 .
r=1
r=1
Esto significa que n − 1 de estas funciones son independientes y una de ellas se puede expresar
como función de todas las demás; por ejemplo, se puede considerar que F1 es función de F2, . . .,
Fn. Consideremos el conjunto I1 = H, Ir = Fr, r = 2, . . . , n; de esta forma hemos obtenido un
conjunto de n constantes del movimiento independientes y en involución
{Ir , Is} = 0 , r, s = 1, 2, . . . , n .
Utilizando las funciones Fr como integrales primeras
llegamos a
dt
w =
1
2 ar(qj)p 2 r + Ur − wrE = αr , (αr = cte) ,
dqj
, j = 1, 2, . . . , n.
2aj(qj)[αj + wj(qj)E − Uj(qj)]
Estas integrales se pueden resolver introduciendo un nuevo tiempo τ de la forma
con lo que obtenemos
τ =
dτ = dt
w(q) ,
dqj
2aj(qj)[αj + wj(qj)E − Uj(qj)] + cj , j = 1, 2, . . . , n.
Esto nos permite obtener qj = qj(τ) por cuadraturas. Finalmente debemos recuperar el tiempo
t por medio de la integral
t = w(qj(τ)) dτ .
El resultado final es la solución de la dinámica expresada de la forma t = t(qj). Aparentemente
esta solución depende de 2n + 1 constantes de integración (E, αj, cj) pero conviene recordar que
j αj = 0.

70 Capítulo 6. Sistemas Separables II
6.3 Sistemas de Stäckel
Los sistemas de Liouville se pueden considerar como una generalización de los sistemas ndimensionales
que están totalmente desacoplados como una suma directa de n sistemas unidimensionales.
Análogamente los sistemas de Stäckel se pueden considerar como una generalización
de los sistemas de Liouville.
Stäckel estudió hacia 1890-1895 sistemas Hamiltonianos caracterizados por funciones H de
la forma
H =
n
j=1
1
aj(q1, q2, . . . , qn) 2 p2
j + Uj(qj) .
Demostró que si H es tal que existe una matriz n-dimensional B para la que se cumplen las tres
propiedades siguientes :
(i) det B = 0.
(ii) Los elementos bjk son función de la coordenada qk.
(iii) Se cumple la propiedad
n
bjk(q)ak(q) = δj1 .
j=1
Entonces la ecuación de H-J asociada admite separación de variables.
Una matriz de este tipo se denomina, por razones obvias, matriz de Stäckel.
El método de Stäckel se basa en la utilización de la matriz inversa. Denotemos por A = [ajk]
la inversa de la matriz B
n
aik(q)bkj(q) = δij .
k=1
Conviene resaltar que la primera columna de A está formada precisamente por las funciones aj,
esto es,
aj1 = aj .
Entonces se comprueba que las n funciones
I1 = H , Ir =
n
j=1
1
ajr(q) 2 p2
j + Uj(qj) , r = 1, 2, . . . , n,
constituyen un conjunto de n constantes del movimiento en involución
{Ir , Is} = 0 , r, s = 1, 2, . . . , n.
La siguiente propiedad resume las características fundamentales de los sistemas de Stäckel.

6.4. Condición de Levi-Civita 71
Proposición 9 Consideremos un Hamiltoniano de tipo Stäckel , esto es, un Hamiltoniano de
la forma
n
1
H = aj(q1, q2, . . . , qn) 2 p2
j + Uj(qj) .
j=1
Entonces las siguientes tres propiedades son equivalentes :
(i) La ecuación de H-J asociada es separable.
(ii) Existe una matriz regular n-dimensional B cuyos elementos bjk son funciones de la coordenadas
qk y satisfacen las condiciones
n
bjk(q)ak(q) = δj1 .
j=1
(iii) Existen n constantes del movimiento independientes que son cuadráticas en los momentos
y vienen dadas por
I1 = H , Ir =
n
j=1
1
ajr(q) 2 p2
j + Uj(qj) , r = 1, 2, . . . , n.
Finalmente, conviene resaltar una vez más que en ambos casos, sistemas de Liouville y
sistemas de Stäckel, la separabilidad de la Ec. de H-J está asociada al carácter cuadrático de
las constantes del movimiento.
6.4 Condición de Levi-Civita
Levi-Civita estudió [LC04] las condiciones que garantizan que un cierto Hamiltoniano H admita
separación de variables en el sentido de H-J y llegó al siguiente resultado :
Proposición 10 (Levi-Civita) La condición necesaria y suficiente para que la ecuación n dimensional
de H-J
H(q 1 , . . . , q n ; p1, . . . , pn) = E , pi = ∂W
∂qi
, i = 1, . . . , n,
admita una solución con las variables separadas de forma aditiva es que el Hamiltoniano H =
H(q, p) satisfaga el siguiente sistema de N = 1 2 n(n − 1) ecuaciones
∂ 2 H
∂q i ∂q j
∂H ∂H
∂pi ∂pj
− ∂2 H
∂q i ∂pj
∂H
∂pi
∂H
∂q j − ∂2 H
∂pi∂q j
∂H
∂qi ∂H
∂pj
+ ∂2 H
∂pi∂pj
∂H
∂q i
∂H
= 0 , i < j . (LC)
∂qj

72 Capítulo 6. Sistemas Separables II
Este resultado se conoce como criterio de Levi-Civita y las ecuaciones (LC) como condiciones
de Levi-Civita.
Supongamos que la función W admite una descomposición de la forma
W (q1, q2, . . . , qn) = W (q1) + W (q2) + . . . + W (qn) .
Entonces el momento pj, que considerado como función de las q’s viene dado por
pj = ∂W
∂qj
= ∂Wj
∂qj
depende solo de la variable qj. Por otra parte derivando H = E con respecto a qj obtenemos
∂H
∂qj
lo que permite despejar la cantidad ∂pj/∂qj
∂pj
∂qj
+ ∂H ∂pj
∂pj ∂qj
,
= 0 ,
= − ∂H/∂qj
.
∂H/∂pj
Por consiguiente, la condición de separación de variables para W conduce a
d
dqi
∂H/∂qj ∂H/∂pj
= 0 , i = j ,
donde la derivada d/dq i debe entenderse como una derivada total
d ∂ ∂pi
= +
dqi ∂qi ∂qi ∂
, (no hay sumatorio) .
∂pi
Desarrollando estas derivadas se obtienen las N condiciones (L-C) de Levi-Civita.
Este resultado es interesante pero difícil de manejar en la práctica ya que se trata de N
ecuaciones que relacionan de forma no lineal las distintas derivadas parciales del Hamiltoniano.
Sin embargo las condiciones (L-C) conducen a resultados muy interesantes cuando se considera
el caso particular de un Hamiltoniano de tipo mecánico (o natural). Consideremos un
Hamiltoniano de la forma
H = T + V , T = 1
2
n
g ij (q) pipj .
Entonces las condiciones (L-C) de Levi-Civita se descomponen en dos tipos de ecuaciones :
(i) Un primer grupo de ecuaciones que envuelven a la energía cinética T y son independientes
de la forma del potencial V
∂ 2 T
∂q i ∂q j
∂T
∂T
∂pi ∂pj
− ∂2 T
∂q i ∂pj
∂T
∂pi
ij=1
∂T
∂q j − ∂2 T
∂pi∂q j
∂T
∂qi ∂T
∂pj
+ ∂2 T
∂pi∂pj
∂T
∂q i
∂T
= 0 .
∂qj

6.5. Webs, vectores de Killing y tensores de Killing 73
(ii) Un segundo grupo de ecuaciones, algo más complicadas que (i), que dependen tanto de T
como de V
∂2U ∂qi∂q j
∂T ∂T
−
∂pi ∂pj
∂2T ∂qi ∂T ∂V
∂pj ∂pi ∂qj − ∂2T ∂pi∂q j
∂V
∂xi ∂T
+
∂pj
∂2T
∂T
∂pi∂pj ∂qi ∂V ∂V
+
∂qj ∂qi ∂T
∂qj
= 0
∂2T ∂V
∂pi∂pj ∂qi ∂V
= 0
∂qj Esta descomposición de (L-C) en dos sistemas de ecuaciones, (i) y (i), indica que el problema
se puede estudiar de forma escalonada. Consideremos un Hamiltoniano de la forma H = T + V ;
entonces primero se deben resolver las ecuaciones (i) que determinan si el movimiento geodésico,
esto es trayectorias asociadas a una dinámica con término cinético T y sin potencial, admite
separabilidad. Posteriormente, si H = T admite separabilidad, las ecuaciones (ii) indican si el
potencial V es compatible con la separabilidad.
Podemos resumir el comentario anterior de la siguiente forma :
Proposición 11 La separación del Hamiltoniano geodésico Hg = T es una condicón necesaria
para la separación del Hamiltoniano completo H = T + V .
Las condiciones de (L-C) son muy generales. Finalizamos esta sección considerando el caso
particular de coordenadas ortogonales. Se puede comprobar que si gij = 0, i = j, estas ecuaciones
adoptan una forma algo más sencilla
∂2gkk ∂xi ∂ log gjj
−
∂xj ∂xi ∂gkk ∂ log gii
−
∂xj ∂xj ∂gkk = 0 , i < j , k = 1, 2, . . . , n.
∂xi Resulta conveniente introducir un par de cambios y reescribir estas ecuaciones de una forma
algo distinta. Primero utilizar las componentes covariantes gii de la métrica, luego introducir la
notación γi = log gii; las ecuaciones quedan de la siguiente forma
∂2γk ∂xi ∂γk
−
∂xj ∂xi ∂γk ∂γj
+
∂xj ∂xi ∂γk ∂γi
+
∂xj ∂xj Estas ecuaciones son conocidas como condiciones de Eisenhart.
∂γk
= 0 , i < j , k = 1, 2, . . . , n.
∂xi 6.5 Webs, vectores de Killing y tensores de Killing
6.5.1 Vectores de Killing y Simetrías de Noether
Consideremos una variedad Riemanniana (Q, g) y denotemos por X (Q) el conjunto de los campos
vectoriales definidos en Q. Se denomina vector de Killing a un campo vectorial X que satisface
la ecuación
LX g = 0
donde LX denota la derivada de Lie a lo largo del campo X. Esta ecuación se denomina ecuación
de Killing y en términos geométricos significa que la métrica g se mantiene invariante a lo largo
de las curvas integrales del campo X. En otras palabras,

74 Capítulo 6. Sistemas Separables II
Proposición 12 Los vectores de Killing son los campos vectoriales que generan las isometrías.
El conjunto Xisom(Q) de todos los campos vectoriales de Killing en (Q, g) tiene estructura
de Espacio vectorial. Si Q es un espacio de curvatura constante entonces la dimensión d de este
espacio viene dada por
d = dim Xisom(Q) = 1
n(n + 1) .
2
Si (Q, g) no es de curvatura constante entonces este valor de d representa el valor máximo que
puede tomar la dimensión.
Por ejemplo, en el plano Euclídeo Q = IE2 , el espacio Xisom(IE2 ) es tridimensional y los
campos vectoriales
X1 = ∂
∂x , X2 = ∂
∂y , X3 = y ∂ ∂
− x
∂x ∂y ,
generadores de las traslaciones y las rotaciones, constituyen una base.
Más aún, el espacio Xisom(Q) es cerrado bajo la operación de paréntesis de Lie: si X e Y son
vectores de Killing entonces también lo es [X, Y ]. Esto significa que el espacio Xisom(Q) tiene
estructura de álgebra de Lie finito-dimensional.
Hasta este momento todo lo expuesto ha sido fundamentalmente geométrico. Nuestro objetivo
es relacionar estas propiedades geométricas con cuestiones dinámicas.
Consideremos un Lagrangiano de tipo mecánico
L = T − V (q) , T = 1
2
gij(q)vivj ,
definido en el espacio de fases de las velocidades T Q. Recordemos que una simetría exacta de
Noether es un grupo uniparamétrico de transformaciones del espacio de configuración Q cuyo
levantamiento a T Q deja invariante L. A nivel infinitesimal la simetría está representada por
su generador infinitesimal que es un campo vectorial en Q. La propiedad importante es que,
que debido a la forma particular de L, el generador de simetrías de Noether preserva el término
cinético T y, por consiguiente, preserva la métrica asociada g. En definitiva es un vector de
Killing.
Podemos resumir el comentario anterior de la siguiente forma :
La existencia de un vector de Killing para la métrica g es una condición necesaria
para que el Lagrangiano completo L = T − V admita una simetría exacta (puntual)
de Noether.
Teniendo en cuenta que las simetrías exactas (puntuales) de Noether determinan constantes
del movimiento lineales en las velocidades (momentos) llegamos a la siguiente conclusión:
Una condición necesaria para que un Lagrangiano de la forma L = T − V admita
una constante del movimiento lineal en las velocidades (momentos) es que la métrica
g admita un vector de Killing X ∈ Xisom(Q). Si el potencial V es invariante bajo las
isometrías generadas por X entonces el Lagrangiano L = T − V posee una constante
lineal.
i j

6.5. Webs, vectores de Killing y tensores de Killing 75
6.5.2 Webs y Tensores de Killing
Una web en una variedad Riemanniana (Q, g) es un conjunto de n foliaciones por hipersuperficies
o subvariedades (n-1)-dimensionales codimensión uno). Una web se denomina ortogonal cuando
los vectores normales a las hipersuperficies son ortogonales entre sí.
Eisenhart estudió en los años 30 la integrabilidad del movimiento geodésico en una variedad
Riemanniana (Q, g) y demostró que existía una relación entre separabilidad y la existencia de
tensores de Killing (de valencia p = 2) en dicha variedad.
Consideremos un Hamiltoniano de la forma
Hg = 1
2
g ij (q)pipj
i j
que representa la dinámica de la partícula libre en una variedad (M, g) dando lugar a un
movimiento denominado movimiento geodésico. Supongamos que Hg admite una constante
el movimiento de la forma
K = 1
2
Entonces ocurre que la condición de Poisson
K ij (q)pipj .
i j
{Hg, K} = 0 ,
implica que las funciones K ij (q), i, j = 1, 2, . . . , n, resultan ser las componentes de un tensor de
Killing.
Recordemos que si denotamos por Ea, a = 1, 2, . . . , n, una base de vectores en Q, y por ∇ la
conexión de Levi-Civita asociada a gab, entonces la derivada covariante ∇aEb = ∇EaEb puede
ser expresada utilizando los vectores de la base
∇aEb = Γ c abEc , Ea =
h
i
i a
∂
,
∂qi donde las funciones Γ c ab son los coeficientes de la conexión con respecto a la base Ea. Generalizando
este resultado se puede obtener la expresión para la derivada covariante de un tensor Tbc
que viene dada por
∇aTbc = EaTbc − Γ d ab Tdc − Γ d acTbd .
Entonces la condición que debe cumplir un tensor simétrico, de valencia p = 2, para ser un
tensor de Killing es
∇ (aK bc) ≡ ∇aKbc + ∇cKab + ∇bKca = 0 .
Definición 4 Un tensor de Killing que satisface las dos propiedades siguientes
(i) Los valores propios son simples y reales.
(ii) Los vectores propios son distintos y ortogonales.

76 Capítulo 6. Sistemas Separables II
se denomina tensor de Killing ’característico’.
Los tensores de Killing característicos son importantes porque sus vectores propios son normales
a familias de hipersuperficies que forman foliaciones ortogonales. Esto significa que los
tensores de Killing característicos determinan las webs ortogonales respecto a las cuales es separable
la Ec. de H-J. Por consiguiente el estudio de los tensores de Killing característicos es un
método alternativo para el estudio de los sistemas de coordenadas y la separabilidad de la Ec.
de H-J.
Un sistema Hamiltoniano representado por
H = 1
2
es ortogonalmente separable si y sólo si
g ij (q)pipj + V (q)
i j
(i) Existe un 2-tensor de Killing característico K. Este tensor determina la web en la que
H es separable y determina una posible constante del movimiento K para el movimiento
geodésico.
(ii) La función V satisface la siguiente ecuación
En este caso la función F dada por
donde la función U viene dada por
F = 1
2
d(K dV ) = 0 .
K ij (q)pipj + U(q) ,
i j
dU = K dV ,
es una constante del movimiento cuadrática en los momentos. La relación dU = K dV indica
que dU es la imagen de dV bajo el endomorfismo lineal definido por K. En coordenadas esta
relación queda de la forma
∂jU =
i
K i j ∂iV , ∂i = ∂
,
∂qi y las condiciones de integrabilidad conducen a las ecuaciones
∂i
k
K k
j ∂kV − ∂j
k
K k
i ∂kV = 0 ,
que, en el caso particular del plano Euclídeo Q = IE 2 , coinciden con las relaciones de Bertrand-
Darboux estudiadas anteriormente.

6.5. Webs, vectores de Killing y tensores de Killing 77
6.5.3 Tensores de Killing de valencia p
Finalizaremos comentando que los tensores de Killing anteriores (de valencia p = 2) se pueden
considerar como un caso particular de una situación más general.
Un tensor de Killing K p de valencia p definido en una variedad Riemanniana (Q, g) es un
tensor simétrico de tipo (p, 0) que satisface la ecuación
donde [· , ·] denota el paréntesis de Schouten.
Dos comentarios :
[K p , g] = 0
(i) La ecuación anterior se suele denominar ecuación tensorial de Killing.
(ii) En el caso particular p = 1 el tensor de Killing resulta un vector de Killing. En este caso
K 1 ∈ X (Q) y la ecuación anterior queda de la forma
L K 1g = 0
lo que significa que K 1 es el generador infinitesimal de un grupo uniparamétrico de
isometrías de (Q, g).
El paréntesis de Schouten para tensores se debe considerar como una generalización del
paréntesis de Lie para vectores. Es un operador bilineal y, como consecuencia de ello, el conjunto
K p (Q) de todos los tensores de Killing de valencia p tiene estructura de Espacio vectorial. Si
M es un espacio de curvatura constante entonces la dimensión d de K p (Q) viene dada por la
llamada fórmula de Delong-Takeuchi-Thompson
d = dim K p (Q) = 1
n + p
n p + 1
n + p − 1
p
, p ≥ 1
Si M no es de curvatura constante entonces este valor de d representa el valor máximo que puede
tomar la dimensión.
(i) Un tensor de Killing K p se puede expresar como una suma de productos tensoriales
simetrizados de vectores de Killing.
(ii) Un tensor de Killing K p está algebraicamente determinado por d parámetros.
Finalmente, el paréntesis de Schouten es una aplicación de la forma
[ · , · ] : K p (Q) ⊕ K p (Q) → K p+q−1 (Q)
que satisface las propiedades de antisimetría e identidad de Jacobi
[K p , K q ] = − [K q , K p ]
[ [K p , K q ] , K r ] + [ [K r , K p ] , K q ] + [ [K q , K r ] , K p ] = 0
Como consecuencia de ello el espacio K(M) definido de la forma
K(Q) = K 0 (Q)⊕K 1 (Q)⊕K 2 (Q)⊕ · · · K p (Q)⊕ · · ·
donde K 0 (MQ) = IR y K 1 (Q) = Xisom(Q), tiene estructura de álgebra de Lie graduada.

78 Capítulo 6. Sistemas Separables II
Bibliografía
• Condiciones de Levi-Civita
[Ha75] P. Havas, “Separation of variables in the Hamilton-Jacobi, Schrödinger, and related
equations. I. Complete separation”, J. Math. Phys. 16, 1461–1468 (1975).
[LC04] T. Levi-Civita, “Sulla integrazione delle equazioni di Hamilton-Jacobi per separazione
di variabili”, Math. Annalen 59, no. 3, 383–397 (1904)
• Tensores de Killing y Separabilidad
[Be97] S. Benenti, “Intrinsic characterization of the variable separation in the Hamilton-
Jacobi equation”, J. Math. Phys. 38, no. 12, 6578–6602 (1997).
[BrMcS01] A.T. Bruce, R.G. McLenaghan, R.G. Smirnov, “A geometrical approach to
the problem of integrability of Hamiltonian systems by separation of variables”, J.
Geom. Phys. 39, no. 4, 301–322 (2001).
[ChDMc06] C. Chanu, L. Degiovanni, R.G. McLenaghan, “Geometrical classification of
Killing tensors on bidimensional flat manifolds”, J. Math. Phys. 47, no. 7, 073506 20
pp. (2006).
[HoMcS05] J.T. Horwood, R.G. McLenaghan, R.G. Smirnov, “Invariant classification
of orthogonally separable Hamiltonian systems in Euclidean space”, Comm. Math.
Phys. 259, no. 3, 679–709 (2005).

Capítulo 7
Sistemas super-Integrables
1. Super-integrabilidad
2. Sistemas super-separables en el plano Euclídeo
3. Super-integrabilidad del oscilador armónico
7.1 Super-integrabilidad
• Sistemas Integrables: Recordemos que un Hamiltoniano n-dimensional (n grados de
libertad) H = H(q, p) se denomina integrable cuando posee un conjunto de n constantes
del movimiento indepenientes y en involución. Número de Constantes (independientes)
del Movimiento N = n
(i) I1, I2, . . ., In, { Ir , H } = 0, r = 1, 2, . . . , n.
(ii) dI1 ∧ dI2 ∧ . . . ∧ dIn = 0.
(iii) { Ir , Is } = 0, r, s = 1, 2, . . . , n.
• Sistemas Super-Integrables: Un sistema Hamiltoniano H = H(q, p) se denomina
super-integrable cuando es integrable y además posee más constantes del movimiento indepenientes
que grados de libertad.
(i) H = H(q, p) es Integrable
(ii) El número N de constantes independientes es mayor que n
dI1 ∧ dI2 ∧ . . . ∧ dIn . . . ∧ dIN = 0 , { Ia , H } = 0 , a = 1, 2, . . . , N > n
79

80 Capítulo 7. Sistemas super-Integrables
• Sistemas Máximamente Super-Integrables: Un sistema Hamiltoniano H = H(q, p)
se denomina máximamente super-integrable cuando es super-integrable con N = 2n − 1
constantes del movimiento.
(i) H = H(q, p) es Integrable
(ii) El número N de constantes independientes es N = 2n − 1
dI1 ∧ dI2 ∧ . . . ∧ dIn . . . ∧ dI2n−1 = 0 , { Ia , H } = 0 , a = 1, 2, . . . , 2n − 1,
Podemos dividir los sistemas super-integrables (en realidad máximamente super-integrables)
en dos conjuntos que denominaremos ‘clásicos’ y ‘modernos’.
1. Sistemas Super-Integrables “Clásicos”
– Partícula libre
– Oscilador armónico (isotrópico) y Problema de Kepler
– Oscilador armónico con frecuencias racionales
– . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Sistemas Super-Integrables “Modernos”
– Potencial de Smorodinsky–Winternitz
– Sistema de Calogero–Moser
– Sistema hiperbólico de Calogero–Shuterland–Moser
– . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Sistemas super-separables en el plano Euclídeo
7.2.1 Separabilidad múltiple en el plano Euclídeo
Recordemos que, en el plano Euclídeo, un sistema Hamiltoniano de la forma
H = 1
2 (p2 x + p 2 y) + V (x, y)
admite una segunda constante del movimiento cuadrática en los momentos
I = I22 + I20(x, y) , I22 = a(x, y)p 2 x + 2b(x, y)pxpy + c(x, y)p 2 y
si y solo si la ecuación de Hamilton–Jacobi es separable en al menos uno de los siguientes sistemas
de coordenadas
Cartesiano, Polar, Elíptico (Elíptico-Hiperbólico), o Parabólico.
Un Hamiltoniano H se dice que admite separabilidad múltiple, o que es multiseparale, cuando
es separable en al menos dos sistemas de coordenadas distintos.

7.2. Sistemas super-separables en el plano Euclídeo 81
Fris et al estudiaron en 1965 [FrMSUW65] la separabilidad de la ecuación de Schrödinger en
dos dimensiones y demostraron la existencia de cuatro familias de potenciales bidimenionales que
admitían separabilidad múltiple de tipo Schrödinger. Por consiguiente, estos cuatro potenciales
V r , r = a, b, c, d, fueron primero analizados desde el punto de vista cuántico (ecuación de
Schrödinger) y posteriormente estudiados desde el punto de vista clásico.
(a) Potencial V a
Potencial separable en (i) coordenadas Cartesianas y (ii) coordenadas polares
V a = k1V a
1 + k2V a
2 + k3V a
3
V a
1 = ( 1
2 )(x2 + y 2 ) , V a
2 = 1
x
2 , V a
3 = 1
(b) Potencial V b
Potencial separable en (i) coordenadas Cartesianas y (ii) coordenadas parabólicas
V b = k1V b
1 + k2V b
2 + k3V b
3
V b
1 = ( 1
2 )(4x2 + y 2 ) , V b
2 = x , V b
3 = 1
y2 (c) Potencial V c
Potencial separable en (i) coordenadas polares y (ii) coordenadas parabólicas
V c = k1V c
V c
1
=
1 + k2V c
2 + k3V c
3
1
c
, V
x2 + y2 2 = 1
y
2 , V c
y 2
x
3 =
y2x2 + y2 (d) Potencial V d
Potencial separable en (i) coordenadas parabólicas y (ii) coordenadas parabólica (dos sistemas
distintos de coordenadas parabólicas)
V d = k1V d
1 + k2V d
2 + k3V d
3
V d
1
=
1
d
, V
x2 + y2 2 = [ x 2 + y 2 + x] 1
2
x 2 + y 2
7.2.2 Superintegrabilidad via Ec. en Deriv. Parc.
, V d
3 = [ x 2 + y 2 − x] 1
2
x 2 + y 2
Recordemos que si un potencial V satisface la siguiente Ec. en Deriv. parciales
2(a − c)Vxy + b(Vyy − Vxx) + 3ayVx − 3cxVy = 0
con a, b y c polinomios cuadráticos en las variables x e y dependientes de seis constantes ai, bi,
ci, entonces existe una constante del movimiento I cuadrática en los momentos px y py.
Una prolongación natural de esta propiedad sería el análisis de los potenciales que satisfacen
no solo una Ec. en Deriv. Parc. sino un sistema de dos ecuaciones de este tipo.
La siguiente propiedad resume la situación.

82 Capítulo 7. Sistemas super-Integrables
Proposición 13 Supongamos que la función V es solución del siguiente sistema de dos Ec. en
Der. Parc.
2(a − c)Vxy + b(Vyy − Vxx) + 3ayVx − 3cxVy = 0
2(A − C)Vxy + B(Vyy − Vxx) + 3AyVx − 3CxVy = 0
donde las funciones a, b, c, y A, B, C, son polinomios en x e y, dados por
a = a2y 2 + a1y + a0
b = −2a2xy − a1x − c1y − b0
c = a2x 2 + c1x + c0
⎫
⎬
⎭
A = A2y 2 + A1y + a0
B = −2A2xy − A1x − C1y − B0
C = A2x 2 + C1x + C0
con ai, bi, ci, y Ai, Bi, Ci, dos conjuntos diferentes de constantes reales tales las dos ecuaciones
anteriores sean independientes.
Entonces, si T denota la energía cinética Euclídea T = (1/2)(v 2 x + v 2 y), el Hamiltoniano
H = T + V (x, y) es superintegrable con constantes del movimiento cuadráticas.
• Potenciales, V a y V b , relacionados con el ’oscilador Armónico’ :
(a) Potencial V a
Sistema de dos Ec. en Der. Parc.
Solución general
(a0/c0) , Vxy = 0
(a2) , xy (Vxx − Vyy) + (y 2 − x 2 )Vxy + 3yVx − 3xVy = 0
V a = k1V a
1 + k2V a
2 + k3V a
3
V a
1 = 1
2 (x2 + y 2 ) , V a
2 = 1
x
2 , V a
Las constantes del movimiento, Ia 1 , Ia 2 , y Ia 3 , vienen dadas por
I a 1 = 1
2 v2 x + 1
I a 2 = 1
2 v2 y + 1
(b) Potencial V b
Sistema de dos Ec. en Deriv. Parc.
Solución general
2 k1x 2 + k2
x
2 k1y 2 + k3
y
2 ,
2 ,
3 = 1
I a 3 = (xvy − yvx) 2 + 2k2( y
x )2 + 2k3( x
y )2 ,
(a0/c0) , Vxy = 0
(c1) , x (Vxx − Vyy) + 2yVxy + 3Vx = 0
V b = k1V b
1 + k2V b
2 + k3V b
3
y 2
⎫
⎬
⎭

7.2. Sistemas super-separables en el plano Euclídeo 83
V b
1 = 1
2 (4x2 + y 2 ) , V b
2 = x , V b
3 = 1
y 2
Las constantes del movimiento, Ib 1 , Ib 2 , y Ib 3 , vienen dadas por
I b 1 = 1
2 v2 x + 1
2 k1x 2 + k2
,
x2 I b 2 = 1
2 v2 y + 2k1y 2 + k3y ,
I b 3 = (xvy − yvx)vx + k1( x2
y
) − k2( 2y
x
x
k3
) + ,
2 2
• Potenciales, V c and V d , relacionados con el ’problema de Kepler’ :
(c) Potencial V c
Sistema de dos Ec. en Deriv. Parc.
Solución general
(a1) , 2xVxy + y(Vyy − Vxx) + 3Vy = 0
(a2) , (y 2 − x 2 )Vxy − xy(Vxx − Vyy) + 3yVx − 3xVy = 0
V c = k1V c
V c
1
=
1 + k2V c
2 + k3V c
3
1
c
, V
x2 + y2 2 = 1
y
2 , V c
Las constantes del movimiento, Ic 1 , Ic 2 , y Ic 3 , vienen dadas por
x
3 =
y2x2 + y2 I c 1 = H ,
I c k1x 2k2x
2 = (yvx − xvy)vy + +
x2 + y2 y2 + k3(2x2 + y2 )
y2x2 + y
I c 3 = (yvx − xvy) 2 2k2x2 +
y2 + 2k3x x2 + y2 y2 ,
Conviene resaltar que como V c
1 es un potencial central, la integral Ic 3
constante k1.
(d) Potencial V d
Sistema de dos Ec. en Deriv. Parc.
(a1) , 2yVxy + x(Vxx − Vyy) + 3Vx = 0
(c1) , 2xVxy − y(Vxx − Vyy) + 3Vy = 0
2 ,
no depende de la
Estas ecuaciones pueden ser simplificadas utilizando variable compleja. Realizando el
cambio de variables
(x, y) → (z = x + iy, z ∗ = x − iy)

84 Capítulo 7. Sistemas super-Integrables
quedan de la forma
∂2V 2z
∂z2
∂V
+ 3
∂z
2z
= 0
∗ ∂2V ∂z∗2
∂V
+ 3
∂z∗
= 0
La solución general de estas ecuaciones complejas es
⎫
⎪⎬
⎪⎭
V = k1(zz ∗ ) −1/2 + c2z −1/2 + c3(z ∗ ) −1/2 ,
que se puede reescribir de la siguiente forma
V d = k1
√zz
∗ + k2
1
Re √z
Teniendo en cuenta que
V d
2 =
1
Re √
x + i y
V d
3 =
1
Im √
x + i y
obtenemos la siguiente solución general
V d = k1V d
1 + k2V d
2 + k3V d
3
V d
1
=
1
d
, V
x2 + y2 Estas dos expresiones, V d
2
2 = [ x 2 + y 2 + x] 1
2
x 2 + y 2
1
+ k3 Im √z .
= [ x 2 + y 2 + x] 1
2
x 2 + y 2
= [ x 2 + y 2 − x] 1
2
x 2 + y 2
, V d
3 = [ x 2 + y 2 − x] 1
2
x 2 + y 2
y V d
3 , coinciden con las expresiones obtenidas por Fris et al
[FrMSUW65] haciendo uso de las coordenadas parabólicas. En lo que respecta a las dos
constantes del movimiento, Id 2 y Id 3 , vienen dadas por
I d k1x
2 = (xvy − yvx)vy +
x2 + y2 + k2y
1
1
Im √ − k3y Re √ ,
x + iy
x + iy
I d k1y
3 = (xvy − yvx)vx +
x2 + y2 − k2x
1
1
Im √ + k3x Re √ .
x + iy
x + iy
Finalizamos esta sección con una observación. Se puede probar directamente que la familia
α-dependiente de potenciales V d α definida de la forma
V d α = [ x 2 + y 2 + (ax + by) ] 1
2
x 2 + y 2
, a = cos α, b = sen α ,
es solución de las dos ecuaciones originales reales. Consecuentemente, el potencial
V d
1α = k1V d
1 + kαV d α ,
es superintegrable para todos lo valores de α. Esta propiedad parece estar relacionada con
el hecho de que las dos ecuaciones diferenciales para V d están relacionadas por una rotación.
Esto es, las dos ecuaciones pueden ser consideradas como una única ecuación presentada de dos
formas distintas : la ecuacón original y la rotada.
.

7.2. Sistemas super-separables en el plano Euclídeo 85
7.2.3 Resumen y comentarios
(a0, c0, a2) V a
1
(a0, a2) ; (c0, a2)
(a0, c0, c1) V b
1
(a0, c1) ; (c0, c1)
(a0, c0, a1)
(a0, a1) ; (c0, a1)
1 = ( 2 )(x2 + y2 ) V a
2
1 = ( 2 )(4x2 + y2 ) V b
2
V b
1 = ( 1
2 )(x2 + 4y 2 )
(c1, a2) V c
1 = √ 1
x2 +y2 (a1, a2)
V c 1
1 = √
x2 +y2 (a1, c1) V d
1 = √ 1
x2 +y2 (a0, b0, c0) V e
1
(a0, b0) ; (b0, c0)
= 1
x 2
V a
3
= y V b
3
= 1
y 2
= 1
y 2
V b
2 = x V b
3 = 1
x 2
V c
2
V c
2
1 = ( 2 )(x2 + y2 ) V e
2
= 1
y 2
= 1
x 2
V d
2 = [√x2 +y2 +x] 1 2
√
x2 +y2 = x V e
3
V c
3 = x
y 2√ x 2 +y 2
V c
3 =
y
x 2√ x 2 +y 2
V d
3 = [√x2 +y2−x] 1 2
√
x2 +y2 1. Los pares de familias denotadas con y sin tilde son claramente equivalentes, la transformación
que las relaciona es simplemente el intercambio (x, y) ↔ (y, x) que geométricamente
representa una reflexión con respecto a la recta x = y. Las tres familias V a , V d , V e , son
invariantes bajo dicha transformación.
2. Cada familia V r incluye uno de los tres potenciales superintegrables “fundamentales” con
constantes del movimiento cuadráticas (oscilador isotrópico, oscilador no-isotrópico 2:1, y
problema de Kepler).
3. Cada familia se puede interpretar como una “deformación superintegrable” del correspondiente
potencial “fundamental” (los valores de k2 y k3 representan la ’intensidad’ de la
deformación). Recordemos que la integrabilidad (superintegrabilidad) es un propiedad
= y

86 Capítulo 7. Sistemas super-Integrables
muy frágil. Por consiguiente, el hecho de que tanto el oscilador como Kepler admitan
“deformaciones superintegrables” es una propiedad muy interesante.
4. Desde un punto de vista puramente matemático, cada V r
i es un elemento de una base de
un espacio vectorial. La elección de esta base en particular (preferible a otras posibles
bases) se debe a su importancia desde el punto de vista dinámico.
5. El potencial de Kepler está presente en la familia V c y en la familia V d ; por consiguiente
este potencial V c
1
= V d
1
admite dos formas distintas de ser deformado preservando la
superintegrabilidad. Lo mismo es cierto para el oscilador isotrópico que aparece en V b and
V e . El oscilador no isotrópico 2:1 admite sólo una única deformación superintegrable.
6. El potencial 1/y 2 (ó 1/x 2 ) está presente en tres familias distintas (V a , V b , y V c ). Es
un potencial algo peculiar ya que depende sólo de una variable; es importante porque es
superintegrable por sí mismo y también porque resulta ser ’linealmente compatible’ con
los tres sistemas superintegrables fundamentales.
7. La familia V e es frecuentemente ignorada. Puede ser considerada como algo trivial ya que
es potencial V e es simplemente un oscilador armónico con el centro trasladado a un punto
arbitrario del plano.
7.3 Super-integrabilidad del oscilador armónico
Consideremos el oscilador armónico bidimensional
L = 1
2 (v2 x + v 2 y) − 1
2 (ω2 1x 2 + ω 2 2y 2 ) (masa m = 1)
Es un sistema trivialmente separable en Cartesianas con las dos energías unidimensionales,
I1 = Ex e I2 = Ey, como constantes del movimiento. Nuestro objetivo es demostrar que el caso
particular en el que el cociente de las dos frecuencias es un núnero racional
ω1 = n1ω0 , ω2 = n2ω0 , ω2/ω1 = n2/n1 , (n1n2, son numeros enteros),
el sistema es no solo integrable sino también superintegrable.
Denotemos por J1 y J2 las siguientes funciones complejas
J1 = vx + i n1ω0x , J2 = vy + i n2ω0y .
La evolución temporal de las funciones J1 y J2 viene dada por
d
dt J1 = d
dt (vx + i n1ω0x) = −(n1ω0) 2 x + i n1ω0vx = i n1ω0 J1 ,
d
dt J2 = d
dt (vy + i n2ω0y) = −(n2ω0) 2 y + i n2ω0vy = i n2ω0 J2 .

7.3. Super-integrabilidad del oscilador armónico 87
Lo que conduce a
d
dt J12 = n2J (n2−1)
1 (J ∗ 2 ) n1J1 ˙ + n1J n2
= J n2
1 (J ∗ 2 ) n1 (i ω0)(n2n1 − n1n2) = 0 .
Esta propiedad queda resumida en la siguiente proposición
1 (J ∗ 2 ) (n1−1) ∗
J2
˙
Proposición 14 Consideremos el oscilador armónico bidimensional con frecuencias ω1 = n1ω0,
ω2 = n2ω0 y denotemos por J1 y J2 las siguientes funciones complejas
J1 = vx + i n1ω0x , J2 = vy + i n2ω0y .
Entonces la función compleja J12 definida de la forma
es una constante del movimiento.
J12 = J n2
1 (J ∗ 2 ) n1
Conviene resaltar que J12, que acopla los dos grados de libertad, depende de la relación entre
ω2 y ω1. Como hemos dicho previamente, J12 está bien definida solo si el cociente ω2/ω1 es
racional. Por otra parte la función J12 es compleja y por consiguiente determina dos constantes
del movimiento reales
I3 = Im(J12) , I4 = Re(J12) ,
que son polinomios en las velocidades (momentos) de grado n1+n2−1 y n1+n2 respectivamente.
Solo una de estas dos funciones debe ser considerada como fundamental ya que I1, I2, I3, I4 son
funcionalmente dependientes (I3 es independiente de I1 e I2, pero I4 es una función dependiente
de I1, I2, e I3).
A continuación obtenemos las expresiones de I3 e I4 en los dos casos más sencillos.
(i) Caso isotrópico ω1 = ω2 = ω0.
I4 = Re(J12) = vxvy + ω0 2 xy
I3 = Im(J12) = ω0(xvy − yvx)
Im(J12) es simplemente el momento angular, y Re(J12) es la componente no diagonal el
tensor de Fradkin.
(ii) Caso no isotrópico con ω1 = 2ω0, ω2 = ω0
I4 = Re(J12) = vxv 2 y + ω0 2 (4xvy − yvx)x
I3 = Im(J12) = (xvy − yvx)vy − ω0 2 xy 2
En resumen hemos probado las siguientes dos propiedades:
(i) Superintegrabilidad del oscilador con frecuencias racionales.
(ii) Factorización compleja de la tercera constante del movimiento.

88 Capítulo 7. Sistemas super-Integrables
Bibliografía
[CaNdOR00] J.A. Calzada, J. Negro, M.A. del Olmo, M.A. Rodríguez, “Contraction
of superintegrable Hamiltonian systems”, J. Math. Phys. 41, no. 1, 317–336 (2000).
[Ev90] N.W. Evans, “Superintegrability in classical mechanics”, Phys. Rev. A 41, no. 10,
5666–5676 (1990).
[FrMSUW65] T.I. Fris, V. Mandrosov, Y.A. Smorodinsky, M. Uhlir, and P. Winternitz,
“On higher symmetries in quantum mechanics”, Phys. Lett. 16, 354–356
(1965).
[Ra97] M.F. Rañada, “Superintegrable n = 2 systems, quadratic constants of motion, and
potentials of Drach”, J. Math. Phys. 38, no. 8, 4165–4178 (1997).
[Montreal] P. Tempesta, P. Winternitz, J. Harnad, W. Miller, G. Pogosyan, M.
Rodríguez (Eds.), Superintegrability in classical and quantum systems, Université
de Montréal, Montréal, Canada, 2002; CRM Proc. Lecture Notes vol. 37, 347 pp.
(Amer. Math. Soc., Providence, EEUU, 2004).

Capítulo 8
Ecuaciones de Lax
1. Ecuaciones de Lax y Pares de Lax
2. Ecuaciones de Lax y evoluciones isoespectrales
3. Ecuación de Yang-Baxter
8.1 Ecuaciones de Lax y Pares de Lax
8.1.1 Introducción
En 1895 Korteweg y de-Vries [KdV95] estudiaron el movimiento de fluidos en canales longitudinales
con poca profundidad y obtuvieron una ecuación no lineal que propusieron como modelo
matemático la propagación de ondas no lineales
Ut − 6UUx + Uxxx = 0 (U es la amplitud de la onda).
Esta ecuación permanció confinada en los libros de mecánica de fluidos durante bastantes años
hasta que primero Zabusky y Kruskal en 1965 [ZaKr65] y luego Gardner et al en 1967 [GGKM67]
la redescubieron y probaron que tenía soluciones con comportamiento altamente regular que
denominaron ondas solitarias o solitones. Esto llevo a considerar la ecuación de KdV como la
ecuación de un sistema Hamiltoniano integrable con infinitos grados de libertad y a considerar
que las propiedades peculiares de las soluciones eran consecuencia de la existencia de infinitas
leyes de conservación. Lax estudió este problema en 1968 [La68] y probó que la ecuación de KdV
(y otras ecuaciones similares) se podía obtener como la condición de integrabilidad entre ciertos
pares de operadores diferenciales y que además implicaba que el espectro de ciertos operadores
se mantenía constante.
89

90 Capítulo 8. Ecuaciones de Lax
Por consiguiente, tanto lo que luego se llamarían pares de Lax como las evoluciones que
preservan el espectro de un operador, fueron obtenidas primeramente en el estudio de ecuaciones
en derivadas parciales asociadas a sistemas no lineales con infinitos grados de libertad.
Posteriormente estas dos ideas fueron utilizadas para el estudio de la integrabilidad de sistemas
Hamiltonianos con un número finito n de grados de libertad.
8.1.2 Pares de Lax
Consideremos una matriz A cuyos elementos Aij son funciones definidas en el espacio de fases.
Supongamos que existe una matriz B tal que la evolución temporal de la matriz A viene dada
por
d
A = B A − A B .
dt
En este caso se dice que estas dos matrices forman un par de Lax y la ecuación de evolución de
la matriz A se denomina ecuación de Lax.
La traza de un conmutador es nula, esto es,
tr[B , A] = tr(B A − A B) = tr(B A) − tr(A B) = 0 ,
de lo que se deduce que si un sistema admite una representación de Lax entonces la traza de la
matriz A es constante del movimiento
I1 = tr A ,
d
dt I1 = 0 .
Si las matrices (A, B) son un par de Lax entonces (A 2 , B) también es un par de Lax
d
dt A2 = ˙
A A + A ˙ A = [B , A] A + A [B , A]
= (B A − A B) A + A (B A − A B)
= [B , A 2 ] .
Esta propiedad se puede generalizar fácilmente para potencias de orden superior de la matriz
A. En efecto, supongamos que (A m−1 , B), m > 1, es un par de Lax. Entonces se cumple que
d
dt Am = ˙
A A m−1 + A d
dt Am−1 = [B , A] A m−1 + A [B , A m−1 ]
= (B A − A B) A m−1 + A (B A m−1 − A m−1 B)
= [B , A m ] .
Por consiguiente (A m , B) también es un par de Lax.
Como consecuencia de esto podemos afirmar la siguiente propiedad :
Proposición 15 Si un sistema dinámico admite un par de Lax (A, B) entonces las funciones
Ik definidas de la forma
I1 = tr A , I2 = tr A 2 , . . . , In = tr A n ,

8.2. Ecuaciones de Lax y evoluciones isoespectrales 91
son constantes del movimiento
d
dt Ik = 0 , k = 1, 2 . . . , n .
8.2 Ecuaciones de Lax y evoluciones isoespectrales
8.2.1 Evoluciones isoespectrales
Supongamos que la evolución temporal de la matriz A viene dada por
d
A = B A − A B .
dt
Consideremos una matriz P definida de la forma
d
P = B P , P (0) = I .
dt
Se trata de una ecuación diferencial lineal con condiciones iniciales; por consiguiente la solución
P (t) está bien definida y es única. Por otra parte esto significa que la matriz B se puede expresar
de la forma
d
B =
dt P
P −1 .
Consideremos la matriz AP definida de la siguiente forma
y calculemos su evolución temporal
Teniendo en cuenta
obtenemos
lo que conduce a
AP = P −1 AP ,
d
dt (P −1 AP ) = ˙
P −1 AP + P −1 ˙
AP + P −1 A ˙
P .
d
dt (P −1 P ) = ˙
P −1 P + P −1 ˙
P = 0 ,
d
dt (P −1 AP ) = − (P −1 ˙
P P −1 )AP + P −1 (B A − A B)P + P −1 AB P ,
d
dt (P −1 AP ) = P −1 ( − ˙
P P −1 A + B A)P
= P −1 ( − BA + B A)P = 0 .
Esto significa que la matriz AP = P −1 AP se mantiene constante a lo largo del tiempo.
Consecuéntemente, su valor en un instante arbitrario t será el mismo que tenía en el instante
inicial
(P −1 AP )(t) = (P −1 AP )(0) = A(0) .

92 Capítulo 8. Ecuaciones de Lax
Esto significa que la evolución temporal de la matriz A es de la forma
A(t) = P A(0)P −1 ,
lo que significa que las matrices A(t) y A(0) son similares. Recordemos que las matrices similares
tienen el mismo polinomio característico. Por consiguiente la matriz A(t) y la matriz A(0)
tienen los mismos valores propios, o lo que es lo mismo, los valores propios λi, i = 1, 2, . . . , n, se
mantienen constantes a lo largo de la evolución temporal
d
dt λi = 0 , i = 1, 2, . . . , n.
En este caso decimos que la evolución temporal de la matriz A gobernada por una ecuación
de Lax es isoespectral, lo que significa que el espectro es preservado por la evolución temporal.
8.2.2 Propiedades y comentarios
(1) Un par de Lax no es único. Más concretamente, dado un par de Lax (A, B) siempre se puede
construir una familia asociada de pares de Lax.
Consideremos la ecuación
d
A = B A − A B ,
dt
y denotemos por Ag y Bg las matrices definidas de la siguiente forma
A ′ g = gAg −1 , Bg = gBg −1 + ˙gg −1 , (∗)
donde g es una matriz regular (invertible) definida en el espacio de fases. Entonces la siguiente
ecuación de Lax también es cierta
d
dt Ag = Bg Ag − Ag Bg .
Las matrices A y Ag son similares y posen los mismos valores propios.
La transformación (A, B) → (Ag, Bg), definida por (*), se denomina transformación ’gauge’
de la ecuación de Lax.
(2) Todo sistema Hamiltoniano que sea integrable en el sentido de Arnold-Liouville admite
una representación de Lax.
Supongamos que un sistema posee n constantes del movimiento en involución
F1, F2, . . . , Fn ,
d
dt Fj = 0 , {Fi , Fj} = 0 .
Entonces existe, al menos localmente, un sistema de coordenadas conjugadas,
(qi, pi) → (θi, Ii)

8.3. Ecuación de Yang-Baxter 93
donde las funciones Ii dependen únicamente de las funciones constantes Fj. En este nuevo
sistema las ecuaciones del movimiento son
d
dt θj = ∂H
,
∂Ij
d
dt Ij = 0 , (∗)
Pues bien en este caso se puede construir (omitimos los detalles) una ecuación matricial de tipo
Lax
d
L = M L − L M . (∗∗)
dt
de tal forma que la ecuación (**) es equivalente a (*). Esto significa que (L, M) forman un par
de Lax para el Hamiltoniano H. Sin embargo esta construcción es formal y carece de utilidad
ya que requiere el conocimiento previo de las variables acción-ángulo para poder construir el par
de Lax.
(3) La utilización de pares de Lax es particularmente útil en el estudio de sistemas integrables
no separables; esto es, sistemas cuya ecuación de Hamilton-Jacobi es complicada pero que poseen
constantes de el movimiento de orden superior.
8.3 Ecuación de Yang-Baxter
Las ecuaciones de Lax están relacionadas con una ecuación denominada ecuación de Yang-
Baxter. Aunque esta ecuación (en realidad hay varias versiones de esta ecuación) tiene su origenen
el estudio de problemas de Mecánica Estadística Cuántica (Sistemas cuánticos de muchos
cuerpos, Cadenas de espines) es también una ecuación que aparece frecuentemente en distintas
situaciones relacionadas con paréntesis de Poisson o con paréntesis de Lie.
8.3.1 Álgebras de Lie y ecuación de Yang-Baxter
Consideremos un álgebra de Lie A con paréntesis de Lie
[ ·, · ] : A × A → A , (a, b) ↦→ [a, b]
Una R-estructura es un álgebra de Lie A equipada con una aplicación lineal R : A → A tal que
el paréntesis [ a, b ]R definido de la forma
es un segundo paréntesis de Lie en A.
Se demuestra la siguiente propiedad.
[ a, b ]R = [ R(a), b ] + [ a, R(b) ] , a, b ∈ A ,
Proposición 16 Una condición suficiente para que R defina una R-estructura en A es
donde α es un número real.
[ R(a), R(b) ] − R([ a, b ]R) = − α [ a, b ]

94 Capítulo 8. Ecuaciones de Lax
Esta propiedad se demuestra comprobando que el nuevo paréntesis [ ·, · ]R es lineal, antisimétrico
y satisface la identidad de Jacobi. Las dos primeras propiedades, linealidad y antisimetría,
son ciertas como consecuencia de la definición. Se comprueba que si se cumple la
ecuación anterior entonces el nuevo paréntesis satisface Jacobi.
Esta ecuación se denomina ecuación de Yang-Baxter y se suele denotar por YB(α). Es fácil
ver que hay básicamente dos situaciones, α = 0 y α = 1. Cualquier otra situación con α = 0
puede ser relacionada con el caso α = 1 mediante una redifinición del operador R.
La ecuación con α = 1 es conocida como ecuación de Yang-Baxter modificada.
8.3.2 Pares de Lax y ecuación de Yang-Baxter
Un par de Lax suministra cantidades conservadas sin hacer referencia a la existencia de una
estructura de Poisson. Por otra parte la integrabilidad en el sentido de Arnold-Liouville requiere
la utilización de Paréntesis de Poisson.
Denotemos por Eij la base canónica en el espacio de las matrices N × N, esto es,
(Eij)kl = δik δjl , i, j, k, l = 1, 2, . . . , N .
Entonces la matriz L se puede escribir de la siguiente forma
L =
Lij Eij .
ij
Las componentes Lij de la matriz de Lax L son funciones definidas en el espacio de fases. Nuestro
objetivo es calcular los de Paréntesis de Poisson
Utilizaremos la siguiente notación
{Lij , Lkl} .
L1 ≡ L⊗I =
Lij(Eij⊗I)
L2 ≡ I⊗L =
Lij(I⊗Eij)
En general Lk representa la inclusión de L en la posición k-ésima, por ejemplo L3 = I⊗I⊗L⊗I⊗ . . .
y Tab la inclusión de T en las posiciones a y b; por ejemplo T12 y T21 vendrán dadas por
T12 =
Tij,kl(Eij⊗Ekl)
ij
kl
T21 =
ij
kl
ij
ij
Tij,kl(Ekl⊗Eij)
{L1 , L2} =
{Lij , Lkl}(Eij⊗Ekl)
ij
kl

Bibliografía 95
Proposición 17 La propiedad de involución entre los valores propios de L es equivalente a la
existencia de una matriz r12, definida en el espacio de fases,
r12 =
rij,kl(Eij⊗Ekl) , r21 =
tal que
ij
kl
{L1 , L2} = [r12 , L1] − [r21 , L2] .
ij
kl
rij,kl(Ekl⊗Eij) ,
Recordemos que los paréntesis de Poisson satisfacen la Identidad de Jacobi
En este caso se debe cumplir
{R, {S, T }} + {T, {R, S}} + {S, {T, R}} = 0 .
{L1, {L2, L3}} + {L3, {L1, L2}} + {L2, {L3, L1}} = 0 ,
lo que conduce a una ecuación que se puede considerar como una restricción para r (la ecuación
es bastante complicada y no la escribimos). En el caso particular de que r sea constante se
obtiene
[r12 , r13] + [r12 , r23] + [r32 , r13] = 0
que es la ecuación de Yang-Baxter para la matriz r12.
Bibliografía
• Sistemas integrables y ecuaciones de Lax
[GGKM67] C.S. Gardner, J.M. Greene, M.D. Kruskal, R. Miura, “Method for solving
the Korteweg-de-Vries equation”, Phys. Rev. Lett. 19, no. 19, 1095–1097 (1967).
[KdV95] D.J. Korteweg, G. de-Vries, “On the change of form of long waves advancing in
a rectangular canal and on a new type of long stacionary waves”, Phil. Mag. 39, 422
(1895).
[La68] P. Lax, “Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves”, Comm.
Pure Appl. Math. 21, 467–490 (1968).
[Mo75] J. Moser, “Three integrable Hamiltonian systems connected with isospectral deformations”,
Advances in Math. 16, 197–220 (1975).
[ZaKr65] N.J. Zabusky, M.D. Kruskal, “Interaction of solitons in a collisionless plasma
and the recurrence of initial states”, Phys. Rev. Lett. 15, no. 6, 240–243 (1965).

96 Capítulo 8. Ecuaciones de Lax
• Ecuación de Yang-Baxter
[AbRi94] J. Abad, M. Ríos, “Colisiones clásicas y ecuación de Yang-Baxter”, Revista
Española de Física 8, no. 1, 16–19 (1994).
[BabBer] O. Babelon, D. Bernard, M. Talon, Introduction to classical integrable systems,
Cambridge Monographs on Mathematical Physics 602 pp. (Cambridge Univ. Press,
Cambridge, 2003).
[ShnidStern] S. Shnider, S. Sternberg, Quantum groups. From coalgebras to Drinfel’d algebras,
Graduate Texts in Mathematical Physics 496 pp. (International Press, Cambridge,
MA, 1993).

Capítulo 9
Retículo de Toda
1. Retículo de Toda I : Introducción
2. Retículo de Toda II : Sistema de n = 3 partículas
3. Retículo de Toda III : Sistema de n partículas
9.1 Retículo de Toda I : Introducción
Toda estudió en 1967 [To67a,To67b] y años posteriores los movimientos (vibraciones) de cadenas
de partículas cuyas oscilaciones están acopladas por medio de fuerzas no lineales. En particular
comprobó que cuando las fuerzas son de tipo exponencial entonces el sistema posee propiedades
de regularidad poco frecuentes en el mundo no lineal. Otros autores estudiaron este sistema
utilizando técnicas de cálculo numérico comprobando la ausencia de ergodicidad. Poco después
Toda y otros [ToWa73] estudiaron el límite continuo de este retículo y lo relacionaron con la
ecuación de Korteweg-de-Vries, la ecuación de Boussinesq y la existencia de soluciones de tipo
solitón.
Consideremos el siguiente Lagrangiano
L(q, v) = 1
2 (v2 1 + v 2 2 + · · · + v 2 n) − V (q)
V (q) = V21 + V32 + · · · + Vnn−1 + λV1n , Vij = V (qij) , qij = qi − qj .
Describe un retículo uni-dimensional (o cadena) de n partículas de igual masa con interacciones
entre cada dos cuerpos vecinos gobernadas por las funciones Vij, i = j + 1. El parámetro λ toma
los valores λ = 1 en el caso de un retículo cerrado y λ = 0 en el caso abierto. El retículo de
Toda corresponde a suponer para la función potencial V la siguiente expresión
Vij = exp qij .
97

98 Capítulo 9. Retículo de Toda
La completa integrabilidad de este sistema fue probada por Henon [He74] y Flaschka [Fl74]
en 1974. Flaschka demostró, utilizando el método de Lax, la existencia de n constantes del
movimiento Im, m = 1, 2, . . . , n de carácter polinómico. Las dos primeras constantes del
movimiento son sencillas:
I1 = v1 + v2 + . . . + vn
es una función lineal en las velocidades asociada a una simetría exacta de Noether de L e I2 es
la energía Lagrangiana cuadrática (Hamiltoniano)
I2 = 1
2 (v2 1 + v 2 2 + · · · + v 2 n) + V (q) .
Las otras n − 2 funciones Ik, k = 3, 4, . . . , n, son polinomios de orden k = 3, 4, . . . , n, en las
velocidades. Estas funciones proceden de simetrías ocultas o generalizadas del Lagrangiano de
Toda.
Estudiaremos este sistema en dos pasos. Primero demostraremos que el sistema tridimensional
admite una representación de Lax y es integrable. Luego extenderemos los resultados al
caso n-dimensional.
9.2 Reticulo de Toda II : Sistema de n = 3 partículas
Consideremos las siguientes dos matrices
⎛
b1
A = ⎝
a1 0
⎞
⎠ ,
⎛
0
B = ⎝ − a1
a1
0
⎞
0
a2 ⎠ ,
0 − a2 0
a1 b2 a2
0 a2 b3
donde hemos utilizado la siguiente notación. Los coeficientes bi representan las velocidades
y los coeficientes ai vienen dados por
b1 = 1
2 v1 , b2 = 1
2 v2 , b3 = 1
2 v3 ,
a1 = 1
2 k e 1 2 q21 , a2 = 1
2 k e 1 2 q32 ,
La matriz A es simétrica y la matriz B es antisimétrica.
Entonces, si denotamos por C el conmutador C = [A, B], obtenemos
⎛
2a
C = ⎝
2 1 a1(b2 − b1) 0
a1(b2 − b1) 2(a2 2 − a21 ) a2(b3 − b2)
0 a2(b3 − b2) − 2a2 ⎞
⎠ .
2
La matriz C es simétrica.
Supongamos que A y B forman un par de Lax y consideremos la correspondiente ecuación
de Lax
d
A = [B, A]
dt
Se trata de una ecuación matricial y por consiguiente conduce a un total de 9 ecuaciones.
Distinguiremos entre ecuaciones no diagonales y ecuaciones diagonales.

9.2. Reticulo de Toda II : Sistema de n = 3 partículas 99
(a) Ecuaciones diagonales
d
dt b1 = 2a 2 1 ,
(b) Ecuaciones no diagonales
Esto conduce a
(a) Ecuaciones diagonales
(b) Ecuaciones no diagonales
Se comprueba fácilmente que
d
dt a1 = a1(b2 − b1) ,
d
dt b2 = 2(a 2 2 − a 2 1) ,
d
dt b3 = − 2a 2 2 .
d
dt a2 = a2(b3 − b2) .
d
dt v1 = k 2 e q21 ,
d
dt v2 = k 2 (e q32 − e q21 ) ,
d
dt v3 = − k 2 e q32 ,
d 1
e
dt
d 1
e
dt
2 q21 = 1
2
2 q32 = 1
2
e 1
2 q21 (v2 − v1) ,
e 1
2 q32 (v3 − v2) ,
• Las ecuaciones (a) son las ecuaciones de E-L del Lagrangiano
• Las ecuaciones (b) son identidades.
L = 1
2 (v2 1 + v 2 2 + v 2 3) − k 2 (e q21 + e q32 )
Los valores propios de la matriz A o, alternativamente, las trazas de las potencias de la
matriz A, que vienen dadas por,
tr A = b1 + b2 + b3 ,
tr A 2 = b 2 1 + b 2 2 + b 2 3 + 2(a 2 1 + a 2 2) ,
tr A 3 = b 3 1 + b 3 2 + b 3 3 + 3a 2 1(b1 + b2) + 3a 2 2(b2 + b3) ,
son constantes del movimiento.
Finalmente, podemos afirmar que el retículo de Toda tridimensional, cuyo potencial viene
dado por
V (q1, q2, q3) = k 2 (e q21 + e q32 )

100 Capítulo 9. Retículo de Toda
es un sistema integrable con tres constantes del movimiento I1, I2, e I3, dadas por
I1 = v1 + v2 + v3 ,
I2 = 1
2 (v2 1 + v 2 2 + v 2 3) + k 2 (e q21 + e q32 ) ,
I3 = 1
3 (v3 1 + v 3 2 + v 3 3) + k 2 e q21 (v1 + v2) + k 2 e q32 (v2 + v3) .
La primera constante es de tipo Noether, la segunda es la energía y la tercera es una constante
cúbica en las velocidades.
9.3 Reticulo de Toda III : Sistema de n partículas
Consideremos el siguiente Lagrangiano
L = 1
2
i=n
i=1
v 2 i − k 2
i=n−1
i=1
e qi+1i
Representa una cadena de n partículas acopladas entre sí por fuerzas de tipo exponencial entre
partículas vecinas (muelles exponenciales). Se supone que cada coordenada qk, k = 1, 2, . . . , n,
denota la posición de la partícula k-ésima medida desde su posición de equilibrio.
Denotaremos por A y B las siguientes matrices
⎛
⎜
A = ⎜
⎝
b1
a1
0
. . .
0
a1
b2
a2
. . .
0
0
a2
b3
. . .
0
0
0
a3
. . .
0
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
⎞
µ an
0 ⎟
0 ⎟
. . . ⎟ ,
⎟
an−1
⎠
µ an 0 0 0 . . . bn
⎛
0
⎜ −a1 ⎜
B = ⎜ 0
⎜ . . .
⎝ 0
a1
0
−a2
. . .
0
0
a2
0
. . .
0
0
0
a3
. . .
0
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
⎞
− µ an
0 ⎟
0 ⎟
. . . ⎟ ,
⎟
an−1
⎠
µ an 0 0 0 . . . 0
donde el coeficiente µ vale µ = 0 para la cadena abierta (n partículas en línea) y µ = 1 para la
cadena cerrada (la última partícula i = n acoplada con la primera i = 1).
Está claro que la matriz A es simétrica y la matriz B es antisimétrica. Lo coeficientes bi
representan las velocidades
bi ↦→ 1
2 vi ,
y los coeficientes ai vienen dados por
a1 ↦→ 1
2 k e 1 2 q21 , a2 ↦→ 1
2 k e 1 2 q32 , . . . , an−1 ↦→ 1
2 k e 1 2 qn,n−1 .

9.3. Reticulo de Toda III : Sistema de n partículas 101
Entonces, si denotamos por C el conmutador C = [B, A], obtenemos
⎛
2a
⎜
C = ⎜
⎝
2 1
a1(b2 − b1)
a1(b2 − b1)
2(a
0 0 . . . 0
2 2 − a21 ) a2(b3
0 a2(b3 − b2)
− b2)
2(a
0 . . . 0
2 3 − a22 ) a3(b4
0 0 a3(b4 − b3)
− b3)
2(a
. . . 0
2 4 − a2 . . . . . . . . .
3 )
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
0 0 0 0 . . . −2a2 ⎞
⎟ .
⎟
⎠
n
La matriz C es simétrica.
La ecuación de Lax
d
A = [B, A]
dt
es una ecuación matricial y por consiguiente conduce a n 2 ecuaciones, la mayoría triviales.
Al igual que en el caso tri-dimensional podemos dividir las ecuaciones en dos grupos:
(a) Las ecuaciones no diagonales
d
dt a1 = a1(b2 − b1) ,
conducen a las siguientes n igualdades
d 1
e
dt
2 q21 = 1
2
d
dt a2 = a2(b3 − b2) , . . . ,
e 1
2 q21 (v2 − v1) ,
1
d
dte d
dt an−1 = an−1(bn − bn−1) ,
2 q32
1
1 = 2e 2 q32 (v3 − v2) , . . .
. . . . . . . . . . . . . . . , d
dt e 1 2 qn,n−1 = 1
2 e 1 2 qn,n−1 (vn − vn−1) ,
que resultan ser n igualdades triviales (sin contenido dinámico).
(b) Las ecuaciones diagonales
d
dt b1 = 2a 2 1 ,
d
dt b2 = 2(a 2 2 − a 2 1) , . . . ,
conducen a las siguientes n ecuaciones
d
dt bn−1 = 2(a 2 2 − a 2 1) ,
d
dt bn = − 2a 2 2 ,
d
dt v1 = k 2 e q21 d , dtv2 = k2 (eq32 q21 d
− e ) , dtv3 = k2 (eq32 q21 − e ) , . . .
d
. . . . . . , dtvn−1 = k2 (eqn,n−1 qn−1,n−2 d
− e ) , dtvn = − k2eqn,n−1 ,
que coinciden con las ecuaciones de Euler-Lagrange del siguiente Lagrangiano
L = 1
2
i=n
i=1
v 2 i − k 2
i=n−1
e qi+1i .
i=1

102 Capítulo 9. Retículo de Toda
Esto significa que el retículo de n cuerpos de Toda admite una representación de Lax y, como
consecuencia de ello, los valores propios de A o, alternativamente, las trazas de las potencias de
la matriz A que vienen dadas por
tr A =
tr A 2 =
tr A 3 =
i=n
bi = b1 + b2 + . . . + bn
i=1
i=n
b 2 n−1
i + 2 a 2 i = b 2 1 + b 2 2 + . . . + b 2 n + 2(a 2 1 + a 2 2 + . . . + a 2 n)
i=1
i=n
b 3 i + 3
i=1
i=1
n−1
a 2 i (bi + bi+1) = b 3 1 + . . . + b 3 n + 3a 2 1(b1 + b2) + . . . + 3a 2 n−1(bn−1 + bn)
i=1
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
son constantes del movimiento.
Im = ( 1
m ) tr Am ,
d
dt Im = 0 , m = 1, 2, . . . , n .
Estas n funciones, Im, m = 1, 2, . . . , n, que son polinomio de orden m en las velocidades, tienen
la siguiente forma
Im = ( 1
m ) (vm 1 + v m 2 + . . . + v m n ) + terminos de orden inferior en las velocidades.
Están globalmente definidas, son funcionalmente independientes y están en involución.
Bibliografía
[FL74] H. Flaschka, “The Toda lattice II. Existence of integrals”, Phys. Rev. B 9, no.
4, 1924–1925 (1974). Reproducido en D.C. Mattis “The many-body problem” (World
Scientific, 1993).
[He74] M. Henon, “Integrals of the Toda lattice”, Phys. Rev. B 9, no. 4, 1921–1923 (1974).
Reproducido en D.C. Mattis “The many-body problem” (World Scientific, 1993).
[To67a] M. Toda, “Vibration of a chain with nonlinear interaction”, J. Phys. Soc. Japan 22,
no. 2, 431–436 (1967). Reproducido en D.C. Mattis “The many-body problem” (World
Scientific,1993).
[To67b] M. Toda, “Wave propagation in anharmonic lattices”, J. Phys. Soc. Japan 23, no.
3, 501–506 (1967). Reproducido en D.C. Mattis “The many-body problem” (World
Scientific, 1993).
[ToWa73] M. Toda and M. Wadati, “A soliton and two solitons in an exponential lattice
and related equations”, J. Phys. Soc. Japan 34, no. 1, 18–25 (1973). Reproducido en
D.C. Mattis “The many-body problem” (World Scientific, 1993).

Capítulo 10
Sistema de Calogero-Moser
1. Sistema de Calogero-Moser I: Introducción
2. Sistema de Calogero-Moser II: Sistema de n = 3 partículas
3. Sistema de Calogero-Moser III: Sistema de n partículas
10.1 Sistema de Calogero-Moser I: Introducción
Las fuerzas proporcionales al inverso del cubo de la distancia, que se suelen denominar de tipo
’centrífugo’, han sido estudiadas en varias ocasiones por diversos autores (parece ser que el
primero que lo estudió fue Jacobi) y el correspondiente potencial, inversamente proporcional al
cuadrado de la distancia, ha sido tradicionalmente catalogado como un potencial con propiedades
interesantes. Recordemos que el potencial del oscilador isotónico o singular se obtiene añadiendo
un término de la forma 1/x 2 al oscilador armónico.
Calogero estudió en 1969 [Ca69] el problema cuántico de tres cuerpos con la misma masa
mi = m, i = 1, 2, 3, interaccionando entre sí mediante fuerzas proporcionales al inverso del cubo
de la distancia mutua. La ecuación de Schrodinger es de la forma
Hψ = Eψ ,
donde ψ = ψ(x1, x2, x3) y H denota al siguiente operador
H = − 2
∂2 2m ∂x2 +
1
∂2
∂x2 +
2
∂2
∂x2
1
+ g
3 x2 +
12
1
x2 +
23
1
x2
, xij = xi − xj .
31
Posteriormente, en 1971 [Ca71], Calogero estudió la generalización de este problema cuántico al
caso de n partículas.
103

104 Capítulo 10. Sistema de Calogero-Moser
Por consiguiente el sistema de Calogero es un sistema de n cuerpos que primero se estudió
cuánticamente (ecuación de Schrödinger) y posteriormente clásicamente.
El Lagrangiano de un sistema de n partículas con fuerzas de interacción, entre cada dos
partículas, proporcionales al inverso del cuadrado de su distancia relativa viene dado por
LCM = 1
2
n
j=1
v 2 j −
i

10.2. Sistema de Calogero-Moser II : Sistema de tres partículas 105
Proposición 18 La matriz A es Hermítica
y la matriz B es anti-Hermítica
ajk = a ∗ kj , aii ∈ IR ,
bjk = − b ∗ kj , bii ∈ Im .
Como consecuencia de esta propiedad podemos asegurar que los valores propios de A son reales.
Denotemos por C el conmutador de A con B. Se obtiene que C viene dada por
⎛
2 (1/q
⎜
C = ⎜
⎝
3 13 − 1/q3 21 ) i /q2 12 (v2 − v1) i /q2 13 (v3 − v1)
i /q2 21 (v1 − v2) 2 (1/q3 21 − 1/q3 32 ) i /q2 32 (v3
⎞
⎟
− v2) ⎟
⎠ .
i /q 2 13 (v1 − v3) i /q 2 32 (v2 − v3) 2 (1/q 3 13 − 1/q3 21 )
Está claro que la matriz C también es Hermítica.
Supongamos que A y B forman un par de Lax y consideremos la correspondiente ecuación
de Lax
d
A = [A, B] .
dt
Se trata de una ecuación matricial y por consiguiente conduce a un total de 9 ecuaciones.
Distinguiremos entre ecuaciones no diagonales y ecuaciones diagonales.
(a) Las ecuaciones no diagonales
d
dt
d
dt
d
dt
i
q12
i
q13
i
q23
= i
q2 (v2 − v1) ,
12
= i
q2 (v3 − v1) ,
13
= i
q2 (v3 − v2) ,
23
resultan ser 3 igualdades que pueden ser consideradas como triviales (sin contenido dinámico).
(b) Las ecuaciones diagonales
d
dt v1 = 2k 2 1
q3 −
13
1
q3
,
21
d
dt v2 = 2k 2 1
q3 −
21
1
q3
,
32
d
dt v3 = 2k 2 ( 1
q3 −
32
1
q3 ) ,
13
son ecuaciones dinámicas que coinciden con las ecuaciones de Euler-Lagrange del Lagrangiano
de Calogero-Moser
L = 1
2 (v2 1 + v 2 2 + v 2 3) − k 2 ( 1
q2 +
21
1
q2 +
32
1
q2 ) .
32

106 Capítulo 10. Sistema de Calogero-Moser
Los valores propios de la matriz A o, alternativamente, las trazas de las potencias de la
matriz A, que vienen dadas por,
tr A = v1 + v2 + v3 ,
tr A 2 = v 2 1 + v 2 2 + v 2 3 + 2k 2 (x 2 12 + x 2 13 + x 2 23) ,
tr A 3 = v 3 1 + v 3 2 + v 3 3 + 3k 2 [(x 2 12 + x 2 13)v1 + (x 2 21 + x 2 23)v2 + (x 2 31 + x 2 32)v3] ,
son constantes del movimiento. Es costumbre dividir tr A m por m y expresar las tres constantes
de la siguiente forma
I1 = v1 + v2 + v3 ,
I2 = 1
2 (v2 1 + v 2 2 + v 2 3) + ( 1
q2 +
21
1
q2 +
32
1
q2 ) ,
32
I3 = 1
3 (v3 1 + v 3 2 + v 3 3) + k 2
( 1
q2 +
21
1
q2 )v1 + (
13
1
q2 +
21
1
q2 )v2 + (
32
1
q2 +
13
1
q2 )v3
32
10.3 Sistema de Calogero-Moser III: Sistema de n partículas
Moser probó en 1975 [Mo75] que el sistema de n partículas con potenciales de interacción Vij
inversamente proporcionales al cuadrado de la distancia
LCM = 1
2
n
j=1
v 2 j −
i

10.3. Sistema de Calogero-Moser III: Sistema de n partículas 107
Entonces el conmutador de A con B viene dado por
[A, B] = [ V + i c0X1 , −i c0(D2 − X2) ]
= ik0[V, D2] − ik0[V, X2] − k 2 0[X1, D2] + k 2 0[X1, X2]
que, agrupando términos, queda de la siguiente forma
[A, B] = ik0[V, D2] − ik0[V, X2] + k 2 0
Se comprueba, por cálculo directo, la siguiente propiedad.
[X1, X2] − [X1, D2] .
Proposición 20 Las matrices V , Da y Xa, satisfacen las siguientes relaciones de conmutación
:
Por consiguiente obtenemos
(i) [V, D2] = 0
(ii) [V, X2]ij = X2ij(vi − vj)
(iii) [X1, X2] − [X1, D2] = −2D3
[A, B] = − 2 k 2 0 D3 + X2ij(vi − vj) .
Supongamos que las matrices A y B forman un par de Lax
dA
dt
= [A, B] ,
entonces la ecuación matricial conduce a un conjunto de n 2 ecuaciones que se pueden agrupar
en dos subconjuntos :
(a) La parte no diagonal de la ecuación matricial es
d
dt (i c0X1) = X2ij(vi − vj) , i, j = 1, 2, . . . , n, i = j .
En componentes, esta cuación matricial determina el siguiente conjunto de ecuaciones
d 1
(
dt qij
que se pueden considerar como identidades.
(b) La parte diagonal de la ecuación matricial es
) = 1
q 2 (vi − vj) , i, j = 1, 2, . . . , n, i = j ,
ij
d
dt V = − 2 k2 0 D3 .
En componentes, esta cuación matricial determina el siguiente sistema de n ecuaciones
d
dt vk = − 2 k 2 0
j=n
j=1
j=k
1
q 3 kj
, k = 1, 2, . . . , n.
Estas ecuaciones coinciden con las ecuaciones de Euler-Lagrange del sistema de Calogero.

108 Capítulo 10. Sistema de Calogero-Moser
Esto significa que el sistema de n cuerpos de Calogero admite una representación de Lax
y, como consecuencia de ello, las trazas de las potencias de la matriz A son constantes del
movimiento
Im = ( 1
m ) tr Am ,
Estas n funciones son de la forma
d
dt Im = 0 , m = 1, 2, . . . , n .
Im = 1
m ) (vm 1 + v m 2 + . . . + v m n ) + terminos de orden inferior en las velocidades
Están globalmente definidas, son funcionalmente independientes y están en involución
10.4 Sistemas de tipo Calogero-Moser
Consideremos un sistema de n partículas interaccionando entre sí y supongamos que el Hamiltoniano
es de la siguiente forma
H = 1
2
n
p 2 i + g
i=1
2
j

10.4. Sistemas de tipo Calogero-Moser 109
Supondremos, a modo de ansatz, que las matrices L y M son de la siguiente forma
Ljk
Mjk
=
=
δjk +
i g(1 − δjk)f(qjk)
−i g δjk z(qjk) − (1 − δjk)y(qjk)
⎫
⎬
⎭
j, k = 1, 2, . . . , n,
j=k
donde f(ξ), y(ξ), y z(ξ) son funciones a determinar. Se comprueba que es conveniente que la
función f sea impar y las funciones y y z sean pares
f(−ξ) = −f(ξ) , y(−ξ) = y(ξ) , z(−ξ) = z(ξ) .
Imponiendo que se satisfaga la ecuación de Lax se obtiene como resultado que se deben
cumplir los siguientes tres puntos
(i) El potencial V viene dado por
V (ξ) = f 2 (ξ) + cte .
(ii) Las funciones f(ξ) e y(ξ) están relacionadas entre sí por la siguiente expresión
y(ξ) = −f ′ (ξ) .
1. (iii) Las funciones f(ξ) y z(ξ) están acopladas entre sí por la siguiente relación funcional
f(ξ)f ′ (η) − f ′ (ξ)f(η) = [z(ξ) − z(η)]f(ξ + η) .
El problema consiste en la resolución de la ecuación (iii) [OlPe81,Ca83]. Se demuestra, en
primer lugar, que la función z(ξ) viene dada por
z(ξ) = f ′′ (ξ)
2 f(ξ) ,
con lo cual la condición (iii) se convierte en la siguiente ecuación funcional para la función f(ξ)
f(ξ)f ′ (η) − f ′ (ξ)f(η) = 1
f ′′ (ξ)
2 f(ξ) − f ′′ (η)
f(ξ + η) .
f(η)
Esta ecuación admite cuatro soluciones distintas que denotaremos por I, II, III, y IV
f(ξ) =
⎧
(I)
⎪⎨ (II)
(III)
⎪⎩ (IV)
1
ξ
a
,
sen(a ξ)
a
,
senh(a ξ)
a
,
sn(a ξ)
a ctg(a ξ)
actgh(a ξ)
cn(a ξ)
a
sn(a ξ)

110 Capítulo 10. Sistema de Calogero-Moser
donde sn y cn son las funciones elípticas de Jacobi.
Cada una de estas cuatro posibilidades para f determina un potencial asociado. Los cuatro
potenciales, que también denotamos por I, II, III, y IV, son
⎧
1
(I)
V (qjk) =
q 2 jk
⎪⎨
a
(II)
sen
⎪⎩
2 (a qjk)
a
(III)
senh 2 (a qjk)
(IV) a 2 P(a qjk)
donde P(ξ) es la función elíptica de Weierstrass.
La función elíptica de Weierstrass P(ξ) = P(ξ, ω1, ω2) es doblemente periódica en el plano
complejo lC con ω1 y ω2 son los semiperíodos. En el límite cuando uno de los dos semiperíodos va
a el infinito se obtienen los potenciales (II) y (III). Si los dos semiperíodos van simultáneamente
al infinito entonces se obtiene el potencial (I). Por consiguiente el potencial (IV) es el más general
y, recíprocamente, los potenciales (I), (II) y (III) aparecen como casos particulares (en realidad
casos-límites) de (IV).
Por otra parte el cambio a → i a relaciona (II) con (III). Además si consideramos el límite
de (II) cuando a → 0 obtenemos (I).
En resumen, los cuatro problemas de n cuerpos con potenciales Vjk = V (qjk) de la forma
Vjk = 1
q2 , Vjk =
jk
1
sen2 q2 1
, Vjk =
jk senh 2 q2 , Vjk = P(qjk) ,
jk
admiten una representación de Lax y poseen n constantes del movimiento
Im = ( 1
m ) tr Lm ,
d
dt Im = 0 , m = 1, 2, . . . , n ,
independientes y en involución. Como hemos comentado anteriormente, I1 representa el momento
total, I2 coincide con el Hamiltoniano, y en general Im es un polinomio de orden m en
los momentos
Im = ( 1
m ) (pm 1 + p m 2 + . . . + p m n ) + terminos de orden inferior en las momentos.
Si m es par entonces Im contiene solo potencias pares y si m es impar solo potencias impares.
Bibliografía
[Ca69] F. Calogero, “Solution of a three-body problem in one dimension”, J. Math. Phys.
10, no. 12, 2191–2196 (1969).
[Ca71] F. Calogero, “Solution of the one-dimensional N-body problem with quadratic
and/or inversely quadratic pair potentials”, J. Math. Phys. 12, no. 3, 419–436 (1971).

Bibliografía 111
[Ca83] F. Calogero, “Integrable dynamical systems and related mathematical results”, en
Nonlinear Phenomena (Oaxtepec, México 1982), 47–109, Lecture Notes in Physics,
Vol. 189 (Springer, 1983).
[Hu67] J. Hurley, “One-dimensional three-body problem”, J. Math. Phys. 8, no. 4, 813–815
(1967).
[Mo75] J. Moser, “Three integrable Hamiltonian systems connected with isospectral deformations”,
Advances in Math. 16, 197–220 (1975).
[OlPe81] M.A. Olshanetsky, A.M. Perelomov, “Classical integrable finite-dimensional
systems related to Lie algebras”, Phys. Rep. 71, no. 5, 313–400 (1981).
[Su71a] B. Sutherland, “Quantum many-body problem in one-dimension”, J. Math. Phys.
12, 246–250 (1971).
[Su71b] B. Sutherland, “Exact results for a quantum many-body problem in onedimension”,
Phys. Rev. A 4, 2019–2021 (1971).
[Su71c] B. Sutherland, “Exact results for a quantum many-body problem in one-dimension
II”, Phys. Rev. A 5, 1372–1376 (1971).