Diez lecciones sobre Sistemas Hamiltonianos, Integrabilidad y ...

12 Capítulo 1. Simetrías y Constantes del movimiento
1.4.3 Conservación del momento angular como caso particular del teorema
de Noether
Consideremos como espacio de configuración el espacio Euclídeo tridimensional y como transformación
de Q la familia uniparamétrica rotaciones alrededor del eje q3
q ′ 1 = (cos α)q1 + (sen α)q2
q ′ 2 = − (sen α)q1 + (cos α)q2
q ′ 3 = q3
Es claro que a1 = q2, a2 = −q1, y a3 = 0, y el campo vectorial XR, generador infinitesimal de
esta familia de rotaciones, viene dado por
XR = q2
∂
∂q1
− q1
∂ ∂
+ v2
∂q2 ∂v1
Supongamos que un Lagrangiano L de la forma
es invariante. Entonces se debe cumplir
− v1
∂
.
∂v2
L = 1
2 m(v2 1 + v 2 2 + v 2 3) − V (q1, q2, q3)
δRL = XR(L) = 0
lo que conduce a la siguiente ecuación en derivadas parciales para el potencial
cuya solución es de la forma
q2( ∂V
) − q1(
∂q1
∂V
) = 0 ,
∂q2
V = V (q 2 1 + q 2 2 , q3) .
A modo de ejemplo, los siguientes dos potenciales permanecen invariantes bajo rotaciones alrededor
del eje q3
V = F (q 2 1 + q 2 2) + G(q3) , V = F (q 2 1 + q 2 2)G(q3) ,
siendo F y G funciones arbitrarias.
Si δRL = 0 entonces el teorema de Noether establece que existe una constante del movimiento
asociada I dada por
I = ( ∂L
)a1 + (
∂v1
∂L
)a2 + (
∂v2
∂L
)a3
∂v3
= m (q2v1 − q1v2)
En resumen, si un Lagrangiano L es invariante bajo rotaciones alrededor del eje q3 entonces el
teorema de Noether establece que la tercera componente del momento angular L3 es constante
del movimiento.
Sea un Lagrangiano L invariante bajo rotaciones de ángulo arbitrario alrededor de un cierto
eje cuya orientación está representado por el vector n. Entonces el teorema de Noether establece
que la función g = L·n, proyección del momento angular L sobre n, es constante del movimiento.