Diez lecciones sobre Sistemas Hamiltonianos, Integrabilidad y ...

4.3. El oscilador armónico y el tensor de Fradkin 47
hemos resuelto el problema utilizando procedimientos algebraicos, esto es, sin resolver ecuaciones
diferenciales ni calcular integrales.
(2) La existencia de esta constante del movimiento adicional fue probada por Laplace en
su curso de Mécanique Céleste publicado en 1799. Posteriormente este resultado fue redescubierto
de forma totalmente independiente por Hamilton en 1845. Sin embargo a pesar de estos
descubrimientos y redescubrimientos la existencia de este vector permaneció bastante ignorado
hasta que Carl Runge lo popularizó en un curso de Análisis Vectorial publicado en 1919 (traducido
al inglés en 1923) y Wilhelm Lenz lo utilizó en 1924 en el estudio cuántico del átomo de
hidrógeno.
4.3 El oscilador armónico y el tensor de Fradkin
Consideremos ahora el oscilador armónico tridimensional
V = 1
2 k r2 , f = k r , k = m ω 2 .
Se denomina tensor de Fradkin y se denota por F al tensor simétrico cuya representación matricial
en coordenadas cartesianas viene dado por
⎡
⎤
F = ⎣
F11 F12 F13
F21 F22 F23
F31 F32 F33
donde las componentes Fij denotan las siguientes funciones
⎦ ,
Fij = Fji = vivj + ω 2 0xixj , i, j = 1, 2, 3 .
Este tensor es importante por dos razones. En primer lugar porque cada una de las funciones
Fij es una constante del movimiento
d
dt Fij = 0 , i, j = 1, 2, 3 .
En segundo lugar porque determina totalmente la órbita y representa, para el oscilador armónico,
algo similar a lo que representa el vector de Laplace-Runge-Lenz es para el problema de Kepler.
Los elementos diagonales F11, F22, y F33 representan (salvo un factor un medio) las tres
energías unidimensionales, Ex, Ey, y Ez, de tal forma que la traza de F representa la energía
total
E = 1 1
tr F = 2 2 (F11 + F22 + F33) .
Esto significa la existencia de un total de nueve constantes del movimiento: las tres energías
parciales {F11, F22, F33}; los tres elementos no diagonales {F12, F13, F23} de F ; y las tres componentes
(J1, J2.J3) del momento angular J. Es obvio que no todas son independientes y que,