Diez lecciones sobre Sistemas Hamiltonianos, Integrabilidad y ...

5.2. Potenciales separables en dos dimensiones 53
Entonces las siguientes tres propiedades son equivalentes
(i) El sistema Hamiltoniano admite una constante del movimiento I
cuadrática en los momentos
d
I = 0
dt
I = I22 + I20(x, y) ,
I22 = a(x, y)p 2 x + 2b(x, y)pxpy + c(x, y)p 2 y .
(ii) La ecuación de Hamilton–Jacobi es separable en al menos uno de los siguientes sistemas
de coordenadas
Cartesiano, Polar, Elíptico (Elíptico-Hiperbólico), o Parabólico.
(iii) Existe un conjunto de constantes no todas nulas
{a0, b0, c0; a1, c1; a2},
tal que el Potencial V (x, y) es solución de la siguiente Ec. en Der. Par.
b(Vyy − Vxx) + (a − c)Vxy + (ay − bx)Vx + (by − cx)Vy = 0 ,
donde las tres funciones a, b, c, vienen dadas por
5.2.2 Comentarios y propiedades
a(x, y) = a0 + a1y + a2y 2 ,
b(x, y) = ( 1
2 )(b0 − a1x − c1y − 2a2xy) ,
c(x, y) = c0 + c1x + a2x 2 .
Cada elección de los parámetros {a0, b0, c0; a1, c1; a2} determina una Ec. en Der. Par. de
segundo orden cuya solución será una familia de potenciales Vuv = V (u, v) dependiente de dos
funciones u = u(x, y) y v = v(x, y) que poseerán una constante del movimiento I2 cuadrática en
las velocidades
{a0, b0, c0; a1, c1; a2} → Vuv → I2 = I22 + I20 .
Dos propiedades inmediatas son las siguientes:
(i) La función V no aparece en la ecuación ya que tan solo intervienen las derivadas de V con
respecto a las variables x e y. Por consiguiente, si V es una solución entonces también lo
será V + k, donde k es una constante cualquiera.