Diez lecciones sobre Sistemas Hamiltonianos, Integrabilidad y ...

62 Capítulo 5. Sistemas Separables I
Consecuentemente, la Ec. de H-J es una Ec. Dif. de la forma
( 1
2m )
∂W
2 +
∂r
1
r2
∂W
2 + λ V = E .
∂φ
Supongamos que el potencial V , escrito en coordenadas (r, φ), es de la forma
V = F (r) + G(φ)
r 2 ,
entonces la ecuación de H-J, que queda de la siguiente forma
1
∂W
2
+ λF (r) +
2m ∂r
1
r2
1
∂W
2
+ λ G(φ) = E ,
2m ∂φ
admite separabilidad. En efecto, supongamos que W es suma de una función radial y una
función angular
W (r, φ) = W1(r) + W2(φ) ,
entonces la Ec. de H-J se descompone en dos Ec. unidimensionales
que pueden ser integradas directamente
∂W1 2
+ 2m(λ F − E) = −
∂r
2mα2
r2
∂W2 2
+ 2mλ G = 2mα2
∂φ
W1 = √
2m (E − λ F ) − α2
r2 dr , W2 = √
α2 2m − λ G dφ ,
donde hemos utilizado la notación α1 = E − α2. Las nuevas coordenadas Q1 y Q2 vienen dadas
por
Q1 = t + β1 = ∂W1
, Q2 = t + β2 =
∂α1
∂W
,
∂α2
lo que conduce a
t + β1 =
m
2
dr
,
(E − λ F ) − α2/r2 que permite obtener r como función de t. Análogamente la ecuación t + β2 = ∂W/∂α2 permite
obtener el valor de la coordenada φ.
En resumen, hemos probado la siguiente propiedad :
Proposición 8 Si el potencial V (r, φ) es de la forma
V = F (r) + G(φ)
r 2 ,
⎫
⎪⎬
⎪⎭