Diez lecciones sobre Sistemas Hamiltonianos, Integrabilidad y ...

8.3. Ecuación de Yang-Baxter 93
donde las funciones Ii dependen únicamente de las funciones constantes Fj. En este nuevo
sistema las ecuaciones del movimiento son
d
dt θj = ∂H
,
∂Ij
d
dt Ij = 0 , (∗)
Pues bien en este caso se puede construir (omitimos los detalles) una ecuación matricial de tipo
Lax
d
L = M L − L M . (∗∗)
dt
de tal forma que la ecuación (**) es equivalente a (*). Esto significa que (L, M) forman un par
de Lax para el Hamiltoniano H. Sin embargo esta construcción es formal y carece de utilidad
ya que requiere el conocimiento previo de las variables acción-ángulo para poder construir el par
de Lax.
(3) La utilización de pares de Lax es particularmente útil en el estudio de sistemas integrables
no separables; esto es, sistemas cuya ecuación de Hamilton-Jacobi es complicada pero que poseen
constantes de el movimiento de orden superior.
8.3 Ecuación de Yang-Baxter
Las ecuaciones de Lax están relacionadas con una ecuación denominada ecuación de Yang-
Baxter. Aunque esta ecuación (en realidad hay varias versiones de esta ecuación) tiene su origenen
el estudio de problemas de Mecánica Estadística Cuántica (Sistemas cuánticos de muchos
cuerpos, Cadenas de espines) es también una ecuación que aparece frecuentemente en distintas
situaciones relacionadas con paréntesis de Poisson o con paréntesis de Lie.
8.3.1 Álgebras de Lie y ecuación de Yang-Baxter
Consideremos un álgebra de Lie A con paréntesis de Lie
[ ·, · ] : A × A → A , (a, b) ↦→ [a, b]
Una R-estructura es un álgebra de Lie A equipada con una aplicación lineal R : A → A tal que
el paréntesis [ a, b ]R definido de la forma
es un segundo paréntesis de Lie en A.
Se demuestra la siguiente propiedad.
[ a, b ]R = [ R(a), b ] + [ a, R(b) ] , a, b ∈ A ,
Proposición 16 Una condición suficiente para que R defina una R-estructura en A es
donde α es un número real.
[ R(a), R(b) ] − R([ a, b ]R) = − α [ a, b ]