Diez lecciones sobre Sistemas Hamiltonianos, Integrabilidad y ...

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50 Capítulo 4. El problema de Kepler y el oscilador armónico Hamilton demostró que, si denotamos por (Ax, Ay, Az) las tres componentes del vector A de Laplace-Runge-Lenz, entonces se cumple vx + Ay 2 + vy − mJ Ax 2 = mJ k 2 , J que representa la ecuación de una una circunferencia en el plano (vx, vy) con centro en el punto (1/mJ)(− Ay, Ax) y radio R = k/J. En resumen, la hodógrafa del vector velocidad del problema de Kepler es un círculo. 4.4.2 La hodógrafa del oscilador armónico Hemos visto (apartado 4.3) que, utilizando el tensor de Fradkin F, se puede escribir directamente la ecuación de la trayectoria sin necesidad de resolver ecuaciones diferenciales o calcular integrales Teniendo en cuenta que F22x 2 − 2F12xy + F11y 2 = J 2 . ω 2 0x 2 = F11 − v 2 x , ω 2 0xy = F12 − vxvy , ω 2 0y 2 = F22 − v 2 y , podemos reescribir la ecuación anterior de la siguiente forma F22(F11 − v 2 x) − 2F12(F12 − vxvy) + F11(F22 − v 2 y) = ω 2 0J 2 . Al desarrollar esta expresión obtenemos 2(F11 F22 − F 2 12) − F22v 2 x + 2F 2 12vxvy − F11v 2 y = ω 2 0J 2 . El primer sumando de la izquierda es precisamente dos veces el valor del determinante del tensor de Fradkin Incorporando su valor llegamos a det F = ω 2 0J 2 , (J = J3) . F22v 2 x − 2F 2 12vxvy + F11v 2 y = ω 2 0J 2 . En esta ecuación las variables son vx y vy; las otras cantidades F11, F12, F22 y J son cantidades conservadas que permanecen invariantes. Por consiguiente esta ecuación es la ecuación de una elipse en el plano (vx, vy). En resumen, la hodógrafa del vector velocidad del oscilador armónico es una elipse.
Bibliografía 51 Bibliografía [Be1873] M.J. Bertrand, “Théoréme relatif au mouvement d’un point attiré vers un centre fixe”, Comptes Rendus de l’Academie des Sciences LXXVII, no. 16, 849–854 (1873). [Cordani] B. Cordani, The Kepler problem : Group theoretical aspects, regularization and quantization, with application to the study of perturbations, Progress in Mathematical Physics vol. 29, 439 pp. (Birkháuser Verlag, 2003). [Fr65] D.M. Fradkin, “Three-dimensional isotropic harmonic oscillator and SU3”, Amer. J. Phys. 33, no. 3, 207–211 (1965). [Go75] H. Goldstein, “Prehistory of the ‘Runge-Lenz’ vector”, Am. J. Phys. 43, no. 8, 737–738 (1975) [Go76] H. Goldstein, “More on the prehistory of the Laplace or Runge-Lenz vector”, Am. J. Phys. 44, no. 11, 1123–1124 (1976) [Ha1847] W.R. Hamilton, “The Hodograph, or a new method of expressing in symbolical language the Newtonian law of attraction”, Proc. Royal Irish Academy, vol. 3, 344– 353 (1847). [LeFl03] P.G. Leach, G.P. Flessas, “Generalisations of the Laplace-Runge-Lenz vector”, J. Nonlinear Math. Phys. 10, no. 3, 340–423 (2003).
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