Diez lecciones sobre Sistemas Hamiltonianos, Integrabilidad y ...

10.4. Sistemas de tipo Calogero-Moser 109
Supondremos, a modo de ansatz, que las matrices L y M son de la siguiente forma
Ljk
Mjk
=
=
δjk +
i g(1 − δjk)f(qjk)
−i g δjk z(qjk) − (1 − δjk)y(qjk)
⎫
⎬
⎭
j, k = 1, 2, . . . , n,
j=k
donde f(ξ), y(ξ), y z(ξ) son funciones a determinar. Se comprueba que es conveniente que la
función f sea impar y las funciones y y z sean pares
f(−ξ) = −f(ξ) , y(−ξ) = y(ξ) , z(−ξ) = z(ξ) .
Imponiendo que se satisfaga la ecuación de Lax se obtiene como resultado que se deben
cumplir los siguientes tres puntos
(i) El potencial V viene dado por
V (ξ) = f 2 (ξ) + cte .
(ii) Las funciones f(ξ) e y(ξ) están relacionadas entre sí por la siguiente expresión
y(ξ) = −f ′ (ξ) .
1. (iii) Las funciones f(ξ) y z(ξ) están acopladas entre sí por la siguiente relación funcional
f(ξ)f ′ (η) − f ′ (ξ)f(η) = [z(ξ) − z(η)]f(ξ + η) .
El problema consiste en la resolución de la ecuación (iii) [OlPe81,Ca83]. Se demuestra, en
primer lugar, que la función z(ξ) viene dada por
z(ξ) = f ′′ (ξ)
2 f(ξ) ,
con lo cual la condición (iii) se convierte en la siguiente ecuación funcional para la función f(ξ)
f(ξ)f ′ (η) − f ′ (ξ)f(η) = 1
f ′′ (ξ)
2 f(ξ) − f ′′ (η)
f(ξ + η) .
f(η)
Esta ecuación admite cuatro soluciones distintas que denotaremos por I, II, III, y IV
f(ξ) =
⎧
(I)
⎪⎨ (II)
(III)
⎪⎩ (IV)
1
ξ
a
,
sen(a ξ)
a
,
senh(a ξ)
a
,
sn(a ξ)
a ctg(a ξ)
actgh(a ξ)
cn(a ξ)
a
sn(a ξ)