Diez lecciones sobre Sistemas Hamiltonianos, Integrabilidad y ...

6.5. Webs, vectores de Killing y tensores de Killing 73
(ii) Un segundo grupo de ecuaciones, algo más complicadas que (i), que dependen tanto de T
como de V
∂2U ∂qi∂q j
∂T ∂T
−
∂pi ∂pj
∂2T ∂qi ∂T ∂V
∂pj ∂pi ∂qj − ∂2T ∂pi∂q j
∂V
∂xi ∂T
+
∂pj
∂2T
∂T
∂pi∂pj ∂qi ∂V ∂V
+
∂qj ∂qi ∂T
∂qj
= 0
∂2T ∂V
∂pi∂pj ∂qi ∂V
= 0
∂qj Esta descomposición de (L-C) en dos sistemas de ecuaciones, (i) y (i), indica que el problema
se puede estudiar de forma escalonada. Consideremos un Hamiltoniano de la forma H = T + V ;
entonces primero se deben resolver las ecuaciones (i) que determinan si el movimiento geodésico,
esto es trayectorias asociadas a una dinámica con término cinético T y sin potencial, admite
separabilidad. Posteriormente, si H = T admite separabilidad, las ecuaciones (ii) indican si el
potencial V es compatible con la separabilidad.
Podemos resumir el comentario anterior de la siguiente forma :
Proposición 11 La separación del Hamiltoniano geodésico Hg = T es una condicón necesaria
para la separación del Hamiltoniano completo H = T + V .
Las condiciones de (L-C) son muy generales. Finalizamos esta sección considerando el caso
particular de coordenadas ortogonales. Se puede comprobar que si gij = 0, i = j, estas ecuaciones
adoptan una forma algo más sencilla
∂2gkk ∂xi ∂ log gjj
−
∂xj ∂xi ∂gkk ∂ log gii
−
∂xj ∂xj ∂gkk = 0 , i < j , k = 1, 2, . . . , n.
∂xi Resulta conveniente introducir un par de cambios y reescribir estas ecuaciones de una forma
algo distinta. Primero utilizar las componentes covariantes gii de la métrica, luego introducir la
notación γi = log gii; las ecuaciones quedan de la siguiente forma
∂2γk ∂xi ∂γk
−
∂xj ∂xi ∂γk ∂γj
+
∂xj ∂xi ∂γk ∂γi
+
∂xj ∂xj Estas ecuaciones son conocidas como condiciones de Eisenhart.
∂γk
= 0 , i < j , k = 1, 2, . . . , n.
∂xi 6.5 Webs, vectores de Killing y tensores de Killing
6.5.1 Vectores de Killing y Simetrías de Noether
Consideremos una variedad Riemanniana (Q, g) y denotemos por X (Q) el conjunto de los campos
vectoriales definidos en Q. Se denomina vector de Killing a un campo vectorial X que satisface
la ecuación
LX g = 0
donde LX denota la derivada de Lie a lo largo del campo X. Esta ecuación se denomina ecuación
de Killing y en términos geométricos significa que la métrica g se mantiene invariante a lo largo
de las curvas integrales del campo X. En otras palabras,