Diez lecciones sobre Sistemas Hamiltonianos, Integrabilidad y ...

58 Capítulo 5. Sistemas Separables I
y el operador Laplaciano ∇2Φ es de la forma
∇ 2 Φ = 1
∂
r
r ∂r
∂Φ
∂r
5.3.4 Coordenadas elípticas
+ 1 ∂
r
2Φ ∂φ2
.
Las coordenadas elípticas son un sistema bi-dimensional de coordenadas ortogonales en el que
las líneas coordenadas son elipses e hipérbolas confocales. Los dos focos, F1 y F2, se suelen
situar en dos puntos −a y +a simétricos con respecto al origen y situados en el eje x de un
sistema Cartesiano de coordenadas.
La definición más habitual de coordenadas elípticas (µ, ν) es de la forma
x = a cosh µ cos ν
y = a senh µ sen ν
donde µ es un número real no negativo y ν ∈ [0, 2π). Se puede ver que estas expresiones
conducen a familias de elipses e hipérbolas. La igualdad trigonométrica
x2 a2 cosh 2 µ +
y2 a2 senh 2 µ = cos2 ν + sen 2 ν = 1
muestra que las curvas con µ constante forman una familia uni-paramétrica de elipses. Análogamente,
la igualdad trigonométrica hiperbólica
x2 a2 cos2 ν −
y2 a2 sen2 ν = cosh2 µ − senh 2 µ = 1
muestra que las curvas con ν constante forman una familia uni-paramétrica de hipérbolas.
Los factores de escala (hµ, hν) determinados por (µ, ν) vienen dados por
hµ =
hν =
∂r
∂µ
=
( ∂x
∂µ )2 + ( ∂y
∂µ )2 =
∂r
∂ν
=
( ∂x
∂ν )2 + ( ∂y
∂ν )2 =
Realizando las operaciones adecuadas se obtiene
hµ = hν = a senh 2 µ + sen2 ν .
(a 2 senh 2 µ cos 2 ν) + (a 2 cosh 2 µ sen 2 ν) ,
(a 2 cosh 2 µ sen 2 ν) + (a 2 senh 2 µ cos 2 ν) ,
Consecuentemente, los elementos infinitesimales de longitud y área vienen dados por
ds 2 = a 2 (senh 2 µ + sen 2 ν) (dµ 2 + dν 2 ) ,
dA = a 2 (senh 2 µ + sen 2 ν) dµ dν ,
y el operador Laplaciano ∇2Φ es de la forma
∇ 2 1
Φ =
a2 (senh 2 µ + sen2
∂2Φ ν) ∂µ 2 + ∂2Φ ∂ν 2
.