Diez lecciones sobre Sistemas Hamiltonianos, Integrabilidad y ...

4.2. El problema de Kepler y el vector de Laplace-Runge-Lenz 45
El vector A se denomina vector de Laplace-Runge-Lenz y es una constante del movimiento
que caracteriza al problema de Kepler, esto es, solo en el caso de que el potencial V (r) sea
inversamente proporcional a r existe esta constante del movimiento.
El problema de Kepler posee por consiguiente un elevado número de cantidades conservadas.
Un potencial central V (r) es un sistema integrable que posee cuatro constantes del movimiento
independientes: la energía E y las tres componentes (Jx, Jy, Jz) del momento angular J. El
problema de Kepler tiene otras tres constantes, esto es, las tres componentes (Ax, Ay, Az) del
vector de Laplace-Runge-Lenz A. Ahora bien un sistema con tres grados de libertad posee
a lo sumo cinco constantes (independientes del tiempo) funcionalmente independientes. Esto
significa que que existen ciertas relaciones entre las funciones {E, Jx, Jy, Jz, Ax, Ay, Az} de tal
forma que dos de ellas se pueden expresar como funciones de las cinco restantes.
A continuación estudiaremos las características más importantes de este vector constante.
1. La definición de A permite afirmar que
A · J = 0
ya que J es perpendicular a p × L y también es perpendicular al vector posición r. De
esto se deduce que A debe ser un cierto vector fijo en el plano de la órbita.
2. Si calculamos el módulo de A utilizando las componentes cartesianas
obtenemos
Teniendo en cuenta que
obtenemos
Ax = pyJz − mk x
r , Ay = − pxJz − mk y
r , Az = 0 ,
pyJz
x
2
pxJz y
2 A = (mk) − + +
mk r mk r
= (mk) 1 + 2
mk2
1
2m (p2 x + p2 y) − k
r
r = x 2 + y 2 , E = 1
2m (p2 x + p 2 y) − k
r ,
A = (mk)
1 +
2EJ 2
= (mk)e .
mk2 Esto es, el módulo A del vector de Laplace-Runge-Lenz es, salvo una constante multiplicativa,
el valor e de la excentricidad de la órbita. Esta propiedad confiere a este vector un
sentido dinámico.