Diez lecciones sobre Sistemas Hamiltonianos, Integrabilidad y ...

54 Capítulo 5. Sistemas Separables I
(ii) En el caso particular {a0 = e0, 0, c0 = e0; 0, 0; 0} la ecuación se reduce a una identidad
(válida para cualquier función V ) y la integral I2 es simplemente la energía
{a0 = e0, 0, c0 = e0; 0, 0; 0} → V → I2 = 1
2 (p2 x + p 2 y) + V (x, y) .
Cualquier otra elección “no trivial” de {a0, b0, c0; a1, c1; a2} corresponderá a la existencia
de una constante cuadrática adicional.
Volviendo a la constante I
I = I22 + I20(x, y)
si tenemos en cuenta que las tres funciones a, b y c, vienen dadas por
a(x, y) = a0 + a1y + a2y 2 ,
b(x, y) = ( 1
2 )(b0 − a1x − c1y − 2a2xy) ,
c(x, y) = c0 + c1x + a2x 2 ,
obtenemos que la parte cuadrática I22 dada por
se puede reescribir de la forma
I22 = a(x, y)p 2 x + 2b(x, y)pxpy + c(x, y)p 2 y ,
I22 = a0p 2 x + c0p 2 y + b0pxpy + a1px(ypx − xpy) + c1py(xpy − ypx) + a2(ypx − xpy) 2 .
Utilizando la notación J para el momento angular, esto es J = ypx − xpy, se puede reescribir
I22 de la siguiente forma
I22 = a0p 2 x + c0p 2 y + b0pxpy + a1pxJ − c1pyJ + a2J 2 .
Proposición 6 Sea H un Hamiltoniano bi-dimensional de tipo mecánico dado por
H = ( 1
2 )(p2 x + p 2 y) + V (x, y) ,
y supongamos que H admite una constante del movimiento I cuadrática en los momentos
I = I22 + I20(x, y) ,
I22 = a(x, y)p 2 x + 2b(x, y)pxpy + c(x, y)p 2 y .
Entonces el término I22 es una combinación lineal de todos los posibles productos
p 2 x , p 2 y , pxpy , pxJ , pyJ , J 2 ,
entre los momentos lineales px y py y el momento angular J.
Conviene resaltar que la Ec. Dif.
b(Vyy − Vxx) + (a − c)Vxy + (ay − bx)Vx + (by − cx)Vy = 0 ,
se puede escribir de varias formas alternativas como por ejemplo
2b(Vyy − Vxx) + 2(a − c)Vxy + 3ayVx − 3cxVy = 0 .