Diez lecciones sobre Sistemas Hamiltonianos, Integrabilidad y ...

4.1.
Órbitas cerradas y potenciales de Bertrand 43
cuya solución es
J 2 1/n+2 rc =
.
mnk
Por consiguiente, todo potencial de la forma V = k rn , k n > 0, admite una órbita circular con
radio r = rc.
(ii) La estabilidad de la órbita está relacionada con el comportamiento de la partícula cuando
sufre una pequeña perturbación. Si Vef(r) tiene un mínimo en rc entonces la partícula estará
atrapada en un entorno del mínimo y la órbita será estable. La segunda derivada V ′′
ef (r), particularizada
en r = rc, toma el valor
V ′′
ef (rc)
= n(n − 1)k r n−2 +
La condición V ′′
ef (rc) > 0 implica que n > − 2.
3J 2
mr4
J 2
= (n + 2)
r r=rc
4 .
c
Teorema 3 (Bertrand) Los únicos potenciales centrales cuyas órbitas acotadas son cerradas
representando movimientos periódicos son V = − k/r (potencial de Kepler) y V = k r 2 (oscilador
armónico).
La demostración de este teorema utiliza un desarrollo perturbativo alrededor de rc. Esto
significa considerar el comportamiento de la órbita cuando se sustituye rc por rc+∆r. Utilizando
la nueva variable u = 1/r se llega a una expresión de la forma
u = uc + a cos βθ , β 2 = 3 −
u df
f du
uc
= 3 +
r df
f dr rc
donde a es la amplitud que depende del incremento de energía respecto al valor correspondiente
a la órbita circular y β es una cantidad obtenida utilizando el desarrollo en serie de Taylor. Si β
es un número racional, cociente m/n de dos enteros, al cabo de n revoluciones el vector posición
volverá al punto inicial y la órbita será cerrada. A partir de esta expresión se obtiene en primer
lugar la expresión de la fuerza
f(r) = − k r β2 −3 ,
y posteriormente, introduciendo términos de orden superior, se demuestra que los únicos valores
permitidos son
β 2 = 1 , f(r) = − k
,
r2 β 2 = 4 , f(r) = −kr .
Esto significa que, si bien todos los potenciales centrales V (r) son importantes y poseen
propiedades interesantes (conservación del momento angular y órbitas planas), los dos potenciales
de Bertrand, oscilador armónico y problema de Kepler, son potenciales distinguidos dentro
de la familia de los potenciales centrales ya que son los únicos que conducen a órbitas cerradas
en el caso de movimientos acotados (en el caso de Kepler hay también movimientos no acotados).
Veremos a continuación que estos dos sistemas poseen otras propiedades interesantes
relacionadas con la existencia de constantes del movimiento adicionales.