Diez lecciones sobre Sistemas Hamiltonianos, Integrabilidad y ...

64 Capítulo 5. Sistemas Separables I
Cuando λ → 0 la función J2 converge hacia una constante del movimiento del oscilador
armónico isotrópico
lim λ→0J2 = vxvy + Axy .
(ii) ɛ = 2, A y B arbitrarios.
El sistema es separable en coordenadas parabólicas trasladadas. La segunda constante es
J2 = ( 1
2 ) (v2 x + Ax 2 2 λ
) −
4A − B [K2 − λ K0] , B = 4A ,
donde hemos utilizado la siguiente notación
J2 = K2 − λ K0 , B = 4A ,
K2 = Jvx − (Ax 2 )y , J = yvx − xvy , K0 = ( 1
4 ) x4 + x 2 y 2 .
Cuando λ → 0 la función J2 converge hacia una de las energías unidimensionales
lim λ→0J2 = ( 1
2 ) (v2 x + Ax 2 ) , B = 4A .
(iii) ɛ = 16/3, B = 16A.
En este caso el sistema no es separable y la segunda constante es un polinomio de cuarto
orden en las velocidades
J2 = E 2 x + λ[ (yvx − 1
3 xvy) x 2 vx − 1
3 (Ax2 )x 2 y ] − λ2
3 K0 ,
donde hemos utilizado la siguiente notación
Cuando λ → 0 obtenemos
Ex = ( 1
2 ) (v2 x + Ax 2 ) , K0 = ( 1
6 ) x6 + x 4 y 2 .
lim λ→0J2 = E 2 x .
El sistema de Hénon-Heiles ilustra claramente lo frágil que es la propiedad de integrabilidad.
En la mayoría de los casos un sistema integrable que sufre una pequeña modificación o perturbación
deja de ser integrable. En el lenguaje de las simetrías, el sistema original (integrable)
posee simetrías (exactas u ocultas) y el nuevo sistema perturbado carece de simetrías.
Finalizaremos resaltando que el sistema de Hénon-Heiles ha sido muy estudiado no solo en
estos tres casos particulares, importantes por ser integrables, sino también en el caso general no
integrable.