Diez lecciones sobre Sistemas Hamiltonianos, Integrabilidad y ...

1.1. Constantes del movimiento 3
(i) Analíticamente: La función F = F (q, v, t) es constante del movimiento para un Lagrangiano
L si se cumple
d
dt
∂F
F =
∂qj
j
vj +
∂F
j
∂vj
dvj
dt
+ ∂F
∂t
= 0 ,
donde dvj/dt son las aceleraciones cuyo valor se deduce de las ecuaciones de Lagrange de
L.
(ii) Geométricamente: La función F = F (q, v, t) es constante del movimiento para un Lagrangiano
L si se mantiene invariante a lo largo de todas las curvas integrales que representan
geométricamente las soluciones de las ecuaciones de Lagrange de L.
En el caso (i) la letra t representa el tiempo y en el caso (ii) tiene un significado geométrico
y representa el parámetro de las curvas.
Supongamos que las m funciones
F1(q, v, t), F2(q, v, t), . . . , Fm(q, v, t),
son m constantes del movimiento distintas entre sí para un Lagrangiano L. Entonces toda
función G = G(q, v, t) que se pueda reescribir como funcón de las Fs, s = 1, 2, . . . , m,
también es constante del movimiento
dG
dt
G(F1, F2, . . . , Fm)
∂G
dFs
=
∂Fs dt
s
En este caso, en el que G es funcionalmente dependiente de las funciones F1, F2, . . . , Fm, la constante
del movimiento G no debe ser considerada realmente como una nueva constante sino como
una consecuencia de las anteriores. Si consideramos que una constante del movimiento ofrece
información sobre el sistema Lagrangiano, resulta que G no ofrece realmente nueva información.
Consecuencia: Es conveniente trabajar con funciones que sean funcionalmente independientes
y prescindir de todas aquellas constantes que no ofrezcan nueva información.
Esta situación plantea tres problemas:
(i) Caracterizar la independencia funcional de un conjunto de m constantes del movimiento.
(ii) Estudiar si el número de cantidades conservadas independientes es un número finito y
estudiar si las propiedades de un sistema Lagrangiano dependen del número máximo de
constantes del movimiento que posee.
(iii) Obtener un método que permita obtener explícitamente las constantes del movimiento que
posee un Lagrangiano L.
= 0 .