Diez lecciones sobre Sistemas Hamiltonianos, Integrabilidad y ...

7.2. Sistemas super-separables en el plano Euclídeo 83
V b
1 = 1
2 (4x2 + y 2 ) , V b
2 = x , V b
3 = 1
y 2
Las constantes del movimiento, Ib 1 , Ib 2 , y Ib 3 , vienen dadas por
I b 1 = 1
2 v2 x + 1
2 k1x 2 + k2
,
x2 I b 2 = 1
2 v2 y + 2k1y 2 + k3y ,
I b 3 = (xvy − yvx)vx + k1( x2
y
) − k2( 2y
x
x
k3
) + ,
2 2
• Potenciales, V c and V d , relacionados con el ’problema de Kepler’ :
(c) Potencial V c
Sistema de dos Ec. en Deriv. Parc.
Solución general
(a1) , 2xVxy + y(Vyy − Vxx) + 3Vy = 0
(a2) , (y 2 − x 2 )Vxy − xy(Vxx − Vyy) + 3yVx − 3xVy = 0
V c = k1V c
V c
1
=
1 + k2V c
2 + k3V c
3
1
c
, V
x2 + y2 2 = 1
y
2 , V c
Las constantes del movimiento, Ic 1 , Ic 2 , y Ic 3 , vienen dadas por
x
3 =
y2x2 + y2 I c 1 = H ,
I c k1x 2k2x
2 = (yvx − xvy)vy + +
x2 + y2 y2 + k3(2x2 + y2 )
y2x2 + y
I c 3 = (yvx − xvy) 2 2k2x2 +
y2 + 2k3x x2 + y2 y2 ,
Conviene resaltar que como V c
1 es un potencial central, la integral Ic 3
constante k1.
(d) Potencial V d
Sistema de dos Ec. en Deriv. Parc.
(a1) , 2yVxy + x(Vxx − Vyy) + 3Vx = 0
(c1) , 2xVxy − y(Vxx − Vyy) + 3Vy = 0
2 ,
no depende de la
Estas ecuaciones pueden ser simplificadas utilizando variable compleja. Realizando el
cambio de variables
(x, y) → (z = x + iy, z ∗ = x − iy)