Diez lecciones sobre Sistemas Hamiltonianos, Integrabilidad y ...

28 Capítulo 2. Ec. Dif. de Hamilton-Jacobi I
2.3.2 El Oscilador Armónico
Consideremos el oscilador armónico unidimensional. El Hamiltoniano es
y la ecuación de H-J viene dada por
H = p2 1
+
2m 2 mω2q 2 , ω 2 = k
m .
1
∂W
2 +
2m ∂q
1
2 mω2q 2 = α (α es el valor cte de la energia).
Esta Ec. Dif. permite despejar la derivada ∂W/∂q directamente de la forma
∂W
∂q = √ m 2α − mω 2 q 2 ,
y obtener la función W por integración directa
W = √
2α
m − mω2q2 dq .
La Ec. de Hamilton para Q es trivial y se puede obtener directamente el valor de Q como función
del tiempo
˙Q = ∂H′
= 1 , Q = t + δ
∂α
Igualando el valor obtenido para Q con la derivada de W con respecto a α, esto es Q = ∂W/∂α,
se obtiene
t + δ = √
m
dq
2α − mω 2 q 2
= 1
ω sen−1 mω2 2α q
Despejando la variable q se obtiene finalmente la solución q = q(t) del oscilador armónico
2α
q = sen ω(t + δ) .
mω2 2.3.3 Variables acción-ángulo
Las trayectorias del oscilador armónico en el espacio de fases son curvas cerradas. Esta propiedad
no es exclusiva del oscilador sino que caracteriza a muchos sistemas que poseen movimientos
acotados de tipo periódico. En estos casos el punto con coordenadas (q, p) se desplaza por el
espacio de fases retornando al punto de partida después de un período T = 2π/ω donde ω es la
frecuencia del movimiento (en el caso particular del oscilador armónico ω es independiente de
la energía E, pero esto es una propiedad inusual). La idea es que, cuando el sistema posee este