Diez lecciones sobre Sistemas Hamiltonianos, Integrabilidad y ...

2.3. Sistemas con un grado de libertad 29
tipo de movimientos, existe un procedimiento alternativo para la resolución de la ecuación de
H-J en el que la nueva coordenada, que se denota por θ, incrementa su valor por 2π cada vez
que el sistema completa una órbita cerrada. El momento conjugado de θ, que se denota por I,
se denomina variable de acción.
La función de Hamilton W , que depende de q y de I, relaciona las nuevas coordenadas (θ, I)
con las antiguas (q, p)
y la ecuación de H-J resulta ser de la forma
W = W (q, I) → p = ∂
∂
W , θ = W ,
∂q ∂I
H(q, ∂W
∂q ) = α = H′ (I) .
El sistema recorre una trayectoria cerrada C con un valor constante de α (y por consiguiente
con un valor constante de I ya que α = H ′ (I)). La condición de que la nueva coordenada θ
aumente su valor en 2π cuando el sistema recorre una órbita cerrada
dθ = 2π ,
se puede escribir de la siguiente forma
dθ
dθ = dq =
dq
∂
∂I
C
C
C
C
∂W
∂q
Esta condición sugiere introducir I de la siguiente forma
I = 1
p(q, α) dq ,
2π
C
dq = ∂
p(q, α) dq = 2π .
∂I C
que puede ser considerada como la definición del nuevo momento I que se conoce como la
“variable de acción”. Resaltemos, una vez más, que el nuevo momento I es función de la
constante α.
Las nuevas Ec. de Hamilton
resultan de la siguiente forma
I ˙ = − ∂
∂θ H′ , θ ˙
∂
=
∂I H′ (I) ,
˙
I = 0 , ˙ θ = ω(I) ,
(ω, que depende de I, es constante) y pueden ser integradas directamente
I = cte , θ = ω(I) t + δ ,
donde ω(I) es la frecuencia característica del movimiento y δ = θ(0).
Finalmente la solución del problema viene dada por
q = q(I, θ) , p = p(I, θ) .