Diez lecciones sobre Sistemas Hamiltonianos, Integrabilidad y ...

4 Capítulo 1. Simetrías y Constantes del movimiento
Empecemos con la cuestión (i).
Consideremos, en primer lugar, un conjunto de m funciones f1, f2, . . . , fm, definidas en IR n ;
esto es, fs = fs(x1, x2, . . . , xn), s = 1, 2, . . . , m. Diremos que estas m funciones son funcionalmente
independientes cuando las diferenciales sean independientes; esto significa que el producto
exterior de las m diferenciales dfs, s = 1, 2, . . . , m, debe ser no nulo
df1 ∧ df2 ∧ . . . ∧ dfm = 0 .
Más concretamente, el número de estas funciones que son funcionalmente independientes viene
dado por el rango r de la matriz de la diferencial [ Df ] definida de la forma
∂fs
[ Df ] =
∂xi
, s = 1, 2, . . . , m, i = 1, 2, . . . , n.
Consideremos ahora el caso de funciones constantes del movimiento como caso particular de
la situación general anterior. Sea L un Lagrangiano n-dimensional y supongamos conocidas m
integrales del movimiento K1, K2, . . . , Km. El número de estas funciones que son funcionalmente
independientes viene dado por el rango r de la matriz [ DK ] definida de la forma
∂Ks
[ DK ] =
∂qi
, ∂Ks
∂vi
, s = 1, 2, . . . , m, i = 1, 2, . . . , n.
Si el rango r vale r = m entonces el rango es máximo y las m funciones Ks, s = 1, 2, . . . , m, son
independientes.
Consideremos ahora la cuestión (ii).
Un sistema Lagrangiano con n grados de libertad posee a lo sumo 2n constantes del movimiento
independientes entre sí.
Más concretamente, el número máximo de constantes del movimiento independientes entre
sí viene dado por la dimensión del espacio de fases menos uno. Si nos limitamos a considerar
Lagrangianos L y cantidades conservadas K independientes del tiempo, como la dimensión de
T Q es 2n, entonces el número máximo m es m = 2n − 1; pero si el sistema depende del tiempo
entonces el espacio de fases es T Q × IR con coordenadas (qi, vi, t) y número máximo m será
m = 2n.
1.2 Transformaciones puntuales y coordinadas cíclicas
1.2.1 Transformaciones puntuales
Hemos visto, al estudiar el cálculo variacional, que un problema variacional consistente en buscar
las funciones yj(x) que hacen extremal un funcional de la forma
x2
J[y1, . . . , yn] =
x1
F [ x, y1, . . . , yn, y ′ 1, . . . , y ′ n ] dx