Diez lecciones sobre Sistemas Hamiltonianos, Integrabilidad y ...

1.4. Teorema de Noether I 9
y denotemos por Lɛ (en lugar de L ′ ) el Lagrangiano transformado
Lɛ(q ′ , v ′ ) = L[q(q ′ , ɛ), v(q ′ , v ′ , ɛ)]
En realidad el nuevo Lagrangiano Lɛ puede ser considerado no como un único Lagrangiano sino
como una familia uni-paramétrica de Lagrangianos, esto es, una familia de Lagrangianos que
depende de ɛ. La dependencia en ɛ es contínua y diferenciable y, por consiguiente, para pequeños
valores de ɛ Lɛ será de la forma
Lɛ = L + ɛ δL + . . .
donde δL, que representa el coeficiente del término lineal en ɛ, viene dado por
δL =
dL
dɛ
Diremos que el Lagrangiano permanece (o es) invariante bajo la transformación F si δL = 0.
(i) Alternativamente, también diremos que F es una simetría del Lagrangiano L
(ii) Es claro que el carácter de simetría es relativo. Una transformación F puede ser simetría
de un Lagrangiano L1 (δL1 = 0) y no serlo para L2 (δL2 = 0).
(iii) En realidad la transformación que preserva el Lagrangiano es la transformación F del
espacio de fases T Q. Pero, como F procede de F , la costumbre es simplificar la notación
y referirse directamente a F .
δL =
∂L
j
∂q ′ j
∂q ′
j
∂ɛ ɛ=0
δL =
∂L
j
∂qj
ɛ=0
∂L
+
j
aj +
∂L
∂vj
∂v ′ j
∂v ′
j
∂ɛ ɛ=0
bj
La modificación que sufre el Lagrangiano L bajo la transformación F viene dada por la
acción del operador diferencial XF sobre L
δL = XF (L)
Supongamos que la transformación F representa una simetría del Lagrangiano L. Entonces la
acción del generador infinitesimal XF sobre L es nula
XF (L) = 0.
Teorema 1 (Noether) Sea L un Lagrangiano regular independiente del tiempo. Supongamos
que L es invariante bajo un grupo uni-paramétrico de transformaciones puntuales del Espacio
de Fases T Q representado por las ecuaciones
q ′ j = q ′ j(q, ɛ)