Diez lecciones sobre Sistemas Hamiltonianos, Integrabilidad y ...

1.6. Lagrangianos alternativos y constantes del movimiento 21
lo que permite, multiplicando por la matriz inversa, despejar las funciones F2 r como combinación
lineal de las funciones F1i
F2 r =
(W2 rk W
i
−1
1 ki ) F1i =
W21 ri F1i .
i
donde hemos denotado por W21 la matriz n-dimensional definida de la siguiente forma
W21 = W2 W −1
1 .
Está claro que esta matriz W21 representa la generalización adecuada de la función f21 que
aparecía en el caso uni-dimensional. Procediendo de una forma análoga a como se ha hecho en
el caso uni-dimensional pero introduciendo las generalizaciones adecuadas se obtienen no una
sino n cantidades conservadas, esto es, tantas como grados de libertad. Más concretamente se
prueba que las trazas de las potencias de la matriz W21
I1 = tr W21 , I2 = tr W 2 21 , I3 = tr W 3 21 , . . . In = tr W n 21 ,
son cantidades conservadas
d
dt Ik = 0 , k = 1, 2, . . . , n.
En resumen, en el caso n-dimensional se cumple la siguiente propiedad :
Proposición 2 (Hojman y Harleston) Supongamos que un sistema Lagrangiano con n grados de
libertad admite, además de un primer Lagrangiano L1, un segundo Lagrangiano L2 alternativo
a L1. Entonces las n funciones I1, I2, . . . , In, definidas de la siguiente forma
son constantes del movimiento
Ik = tr W k 21 , W21 = W2 W −1
1
k = 1, 2, . . . , n,
Acabaremos esta sección con un par de comentarios
(i) No es necesariamente cierto que estas n cantidades conservadas sean funcionalmente
independientes. En la práctica, pueden plantearse situaciones muy distintas dependiendo de las
características de L1 y L2. Puede ocurrir que, en efecto, sean todas ellas independientes entre
sí pero puede ocurrir también que sólo un subconjunto de m < n constantes sean realmente
independientes.
(ii) Desde un punto de vista algebraico, las trazas de las potencias de una matriz M están
relacionadas con los valores propios de dicha matriz. En este caso, las n funciones Ik son
constantes del movimiento y como consecuencia de ello también lo serán los n valores propios
λk, k = 1, 2, . . . , n, de la matriz W21. Desde un punto de vista práctico es recomendable utilizar
las funciones Ik ya que suele ser más fácil calcular las trazas que calcular los valores propios.
En cualquier caso el problema de la independencia se puede trasladar al lenguaje de los valores
propios. Por ejemplo, si la matriz W21 tiene algunos valores propios repetidos, e.g. λk = λj,
k = j, entonces el número de constantes independientes será inferior a n.