Diez lecciones sobre Sistemas Hamiltonianos, Integrabilidad y ...

3.4. Geometría del espacio de fases 39
(b) Los n campos vectoriales XFr son tangentes a las hojas de la foliación ΣF (subvariedades
Mc1,...,cr), son linealmente independientes y forman una base del correspondiente espacio
tangente n-dimensional. Esto significa que las hojas de la foliación ΣF son subvariedades
paralelizables.
(c) La propiedad de que las n funciones Fr, r = 1, 2, . . . , n, estén en involución implica que los
correspondientes campos vectoriales Xr, r = 1, 2, . . . , n, conmutan entre sí, en el sentido
de que los paréntesis de Lie son nulos
[XH , Xs] = 0 , [Xr , Xs] = 0 , r, s = 1, 2, . . . , n.
Como consecuencia de ello si las hojas de la foliación ΣF son subvariedades compactas y
conexas entonces deben ser difeomorfas a un toro n-dimensional
Mc1,...,cr ∼ T n = S 1 ×S 1 × . . . ×S 1
(n factores) .
(d) Cada círculo S 1 en T n puede ser descrito por medio de una coordenada angular θk ∈ [0, 2π).
El movimiento más general en Mc1,...,cr ∼ T n es un movimiento quasiperiódico, que es la
solución de las ecuaciones (transformadas) del movimiento
d
dt θk = ωk , k = 1, 2, . . . , n.
Un movimiento se denomina quasiperiódico, con frecuencias ω1, ω2 . . . , ωn, si está desacoplado
y las componentes del movimiento son periódicas (los períodos vienen dados por Tk = 2π/ωk) y
las frecuencias son racionalmente independientes
n
rk ωk = 0 solo si r1 = r2 = . . . = rn = 0 .
k=1
Si un movimiento es quasiperiódico entonces las trayectorias (curvas integrales de XH) no solo
están contenidas en un toro T n sino que además son densas en él.
Finalmente, digamos que si el movimiento no es acotado entonces las hojas no serán compactas.
En este caso serán difeomorfas a un producto de un toro n-m-dimensional por m factores
de IR
Mc1,...,cr ∼ T n−m × IR m .
El caso m = 0 corresponde al caso compacto anteriormente mencionado.
Acabaremos esta sección con un esquema final a modo de resumen
Consideremos un sistema Hamiltoniano conservativo con n grados de libertad
H(q1, . . . , qn, p1, . . . , pn) = E
que es integrable en el sentido de Liouville. Entonces el espacio de fases T ∗ Q tiene unas estructuras
con las siguientes dimensiones :