Diez lecciones sobre Sistemas Hamiltonianos, Integrabilidad y ...

5.4. La Ec. de H-J de nuevo 61
entonces la Ec. de H-J se descompone en dos Ec. unidimensionales
∂W2 2
+ 2mλ U2
∂y
∂W1 2
+ 2mλ U1
∂x
=
=
2mα2
2mE − 2mα2
⎫
⎪⎬
⎪⎭
que pueden ser integradas directamente
W1 = √
α1 2m − λ U1 dx , W2 = √
α2 2m − λ U2 dy ,
donde hemos utilizado la notación α1 = E − α2. Las nuevas coordenadas Q1 y Q2 vienen dadas
por
lo que conduce a
t + β1 =
Q1 = t + β1 = ∂W1
∂α1
m
2
, Q2 = t + β2 = ∂W2
∂α2
dx
m
√ , t + β2 =
α1 − λ U1
2
En resumen, hemos probado la siguiente propiedad :
Proposición 7 Si el potencial V (x, y) es de la forma
V = U1(x) + U2(y) ,
,
dy
√ .
α2 − λ U2
entonces el Hamiltoniano H es H-J separable en coordenadas Cartesianas (x, y). El sistema es
integrable con dos ctes del movimiento cuadráticas
de tal forma que H = I1 + I2.
I1 = ( 1
2m )p2 x + λ U1(x) , I2 = ( 1
2m )p2 y + λ U2(x) ,
5.4.2 Separabilidad de la Ec. de H-J: Coordenadas Polares
Consideremos el siguiente Lagrangiano
L = ( 1
2 )m(v2 r + r 2 v 2 φ ) − λ V (r, φ) (λ es una constante) .
Teniendo en cuenta que los momentos pr y pφ vienen dados por
pr = mvr , pφ = mr 2 vφ ,
obtenemos la siguiente expresión para el Hamiltoniano
H(r, φ, pr, pφ) = ( 1
2m )
p 2 r + p2 φ
r 2
+ λ V (r, φ) .