Diez lecciones sobre Sistemas Hamiltonianos, Integrabilidad y ...

16 Capítulo 1. Simetrías y Constantes del movimiento
Las funciones ax y ayvienen dadas por ax = vy y ay = vx; por consiguiente, si denotamos por
fx y fy dos funciones arbitrarias, el campo vectorial XD viene dado por
XD = vy
∂ ∂ ∂ ∂
+ vx + fy + fx .
∂x ∂y ∂vx ∂vy
Esta transformación será una simetría generalizada de L si existe una función F tal que la acción
de XD sobre L, que viene dada dada por
coincide con
XD(L) = vy(−ω 2 x) + vx(−ω 2 y) + fy vx + fx vy ,
Df (F ) = vx
∂F
∂x
+ vy
∂F
∂y
Igualando estas dos expresiones obtenemos la ecuación
−ω 2 (xvy) − ω 2 (yvx) + fy vx + fx vy = vx
que admite como solución la función F dada por
∂F ∂F
+ fx + fy
∂vx ∂vy
∂F
∂x
F = vxvy − ω 2 xy .
+ vy
∂F
∂y
∂F ∂F
+ fx + fy ,
∂vx ∂vy
Por consiguiente, esta transformación dependiente de las velocidades es una simetría generalizada
del Lagrangiano del oscilador armónico y, de acuerdo con el teorema de Noether, determina una
constante del movimiento I = I(x, y, vx, vy) dada por
∂L
∂L
I = ax + ay − F = vxvy + ω
∂vx ∂vy
2 xy .
(2) Consideremos el Lagrangiano del problema de Kepler bi-dimensional
LK = 1
2 (v2 x + v 2 k
y) − , k > 0
x2 + y2 y la siguiente transformación (x, y) → (x ′ y ′ ) dependiente de las velocidades
x ′ = x + ɛ(xvy − 2yvx) , y ′ = y + ɛxvx .
Las funciones ax y ayvienen dadas por ax = xvy − 2yvx y ay = xvx; por consiguiente, si
denotamos por fx y fy dos funciones arbitrarias, entonces el campo vectorial XD viene dado por
XD = (xvy − 2yvx) ∂ ∂
+ xvx
∂x ∂y − (vxvy + 2yfx − xfy) ∂
∂vx
de tal forma que la acción sobre L conduce a
XD(LK) = (xvy − 2yvx) ∂LK
∂x
+ xvx
∂LK
∂y − (vxvy + 2yfx − xfy) ∂LK
∂vx
+ (v 2 x + xfx) ∂
.
∂vy
+ (v 2 x + xfx) ∂LK
∂vy