Diez lecciones sobre Sistemas Hamiltonianos, Integrabilidad y ...

Capítulo 8
Ecuaciones de Lax
1. Ecuaciones de Lax y Pares de Lax
2. Ecuaciones de Lax y evoluciones isoespectrales
3. Ecuación de Yang-Baxter
8.1 Ecuaciones de Lax y Pares de Lax
8.1.1 Introducción
En 1895 Korteweg y de-Vries [KdV95] estudiaron el movimiento de fluidos en canales longitudinales
con poca profundidad y obtuvieron una ecuación no lineal que propusieron como modelo
matemático la propagación de ondas no lineales
Ut − 6UUx + Uxxx = 0 (U es la amplitud de la onda).
Esta ecuación permanció confinada en los libros de mecánica de fluidos durante bastantes años
hasta que primero Zabusky y Kruskal en 1965 [ZaKr65] y luego Gardner et al en 1967 [GGKM67]
la redescubieron y probaron que tenía soluciones con comportamiento altamente regular que
denominaron ondas solitarias o solitones. Esto llevo a considerar la ecuación de KdV como la
ecuación de un sistema Hamiltoniano integrable con infinitos grados de libertad y a considerar
que las propiedades peculiares de las soluciones eran consecuencia de la existencia de infinitas
leyes de conservación. Lax estudió este problema en 1968 [La68] y probó que la ecuación de KdV
(y otras ecuaciones similares) se podía obtener como la condición de integrabilidad entre ciertos
pares de operadores diferenciales y que además implicaba que el espectro de ciertos operadores
se mantenía constante.
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