Diez lecciones sobre Sistemas Hamiltonianos, Integrabilidad y ...

10.3. Sistema de Calogero-Moser III: Sistema de n partículas 107
Entonces el conmutador de A con B viene dado por
[A, B] = [ V + i c0X1 , −i c0(D2 − X2) ]
= ik0[V, D2] − ik0[V, X2] − k 2 0[X1, D2] + k 2 0[X1, X2]
que, agrupando términos, queda de la siguiente forma
[A, B] = ik0[V, D2] − ik0[V, X2] + k 2 0
Se comprueba, por cálculo directo, la siguiente propiedad.
[X1, X2] − [X1, D2] .
Proposición 20 Las matrices V , Da y Xa, satisfacen las siguientes relaciones de conmutación
:
Por consiguiente obtenemos
(i) [V, D2] = 0
(ii) [V, X2]ij = X2ij(vi − vj)
(iii) [X1, X2] − [X1, D2] = −2D3
[A, B] = − 2 k 2 0 D3 + X2ij(vi − vj) .
Supongamos que las matrices A y B forman un par de Lax
dA
dt
= [A, B] ,
entonces la ecuación matricial conduce a un conjunto de n 2 ecuaciones que se pueden agrupar
en dos subconjuntos :
(a) La parte no diagonal de la ecuación matricial es
d
dt (i c0X1) = X2ij(vi − vj) , i, j = 1, 2, . . . , n, i = j .
En componentes, esta cuación matricial determina el siguiente conjunto de ecuaciones
d 1
(
dt qij
que se pueden considerar como identidades.
(b) La parte diagonal de la ecuación matricial es
) = 1
q 2 (vi − vj) , i, j = 1, 2, . . . , n, i = j ,
ij
d
dt V = − 2 k2 0 D3 .
En componentes, esta cuación matricial determina el siguiente sistema de n ecuaciones
d
dt vk = − 2 k 2 0
j=n
j=1
j=k
1
q 3 kj
, k = 1, 2, . . . , n.
Estas ecuaciones coinciden con las ecuaciones de Euler-Lagrange del sistema de Calogero.