Diez lecciones sobre Sistemas Hamiltonianos, Integrabilidad y ...

36 Capítulo 3. Ec. Dif. de Hamilton-Jacobi II
indica que cada momento pk es función de su correspondiente coordenada qk. Si el movimiento
es periódico en cada coordenada qk entonces se pueden introducir las n variables de acción Ik
de la siguiente forma
Ik = 1
pk(qk, α1, . . . , αn) dqk .
2π Ck
donde Ck es la curva cerrada correspondiente al k-ésimo grado de libertad. Conocidos los valores
de los nuevos momentos Ik, que recordamos que son función de las αk, pueden ser sustituidos
en la función W lo que permite obtener las nuevas coordenadas angulares
θk = ∂W
∂Ik
Las nuevas Ec. de Hamilton son
=
n ∂
Wr(qr, I1, . . . , In) .
∂Ik
r=1
Ik
˙ = − ∂
H
∂θk
′ (I1, I2, . . . , In) = 0
∂
˙θk = H
∂Ik
′ (I1, I2, . . . , In) = ωk
pueden ser integradas directamente y la solución es de la forma
⎫
⎪⎬
Ik = cte , θk = ωk t + δk , ωk = ωk(I1, I2, . . . , In) ,
donde ωk, k = 1, 2, . . . , n, son las n frecuencias características del movimiento y δk son las fases
o valores iniciales de las variables angulares δk = θk(0).
Finalmente, invirtiendo las ecuaciones
se obtiene
que representa la solución del problema.
pj = ∂
W (qi, Ii) , θj =
∂qj
∂
W (qi, Ii) ,
∂Ij
qj = qj(θi, Ii) , pj = pj(θi, Ii) , j = 1, 2, . . . , n,
3.4 Geometría del espacio de fases
En general es difícil determinar cuando un cierto Hamiltoniano H es separable y en cuanto
a las variables acción Ik, k = 1, 2, . . . , n, son cantidades difíciles de obtener en la práctica.
En cualquier caso está claro que, de todo lo expuesto anteriormente, el punto clave para la
integración de un sistema Hamiltoniano con n grados de libertad es la obtención de n constantes
del movimiento (cantidades conservadas) Fk, k = 1, 2, . . . , n, donde n representa el número de
grados de libertad. Si estas n funciones pueden ser interpretadas como n momentos conjugados
Pk, k = 1, 2, . . . , n, entonces las ecuaciones de Hamilton pueden ser integradas directamente.
⎪⎭