Diez lecciones sobre Sistemas Hamiltonianos, Integrabilidad y ...

3.3. Variables acción-ángulo 35
La función W = W (r, φ, α1, α2) es la función generatriz de una transformación canónica (r, φ, pr, pφ) →
(Q1, Q2, α1, α2) cuyas ecuaciones de transformación vienen dadas por
Se obtiene el siguiente resultado
Q1 = t + β1 = ∂W
, Q2 = β2 =
∂α1
∂W
.
∂α2
t + β1 =
β2 = −
m dr
2m(α1 − k V ) − α2 2
r2 α2 dr
r2
2m(α1 − k V ) − α2 2
r2 La expresión obtenida para Q1 = t+β1 permite obtener t como función de r y, consecuentemente,
obtener r como función de t. Este resultado coincide con el resultado obtenido utilizando el
formalismo Lagrangiano con el único cambio de identificar las constantes α1 y α2 con la energía
y el momento angular
α1 → E , α2 → J .
La expresión obtenida para Q2 = β2 permite obtener la ecuación de la órbita (relación entre r
y φ). Más concretamente, introduciendo el cambio de variable r → u = 1/r, se obtiene
α2 du
φ = β2 − ,
2m(α1
− k V ) − u2 α 2 2
que también coincide con la correspondiente ecuación obtenida utilizando el formalismo Lagrangiano.
3.3 Variables acción-ángulo
Hemos visto anteriormente, al estudiar el caso unidimensional, que existe un enfoque alternativo
para la resolución de la ecuación de H-J en el que, en lugar de utilizar las constantes de
integración αi como los nuevos momentos conservados, esto es αi = Pi, se prefiere introducir
unas nuevas funciones Ii adecuadamente definidas como cantidades conservadas; estas funciones
se denominan variables de acción.
Consideremos un sistema separable cuya función W admite una descomposición aditiva de
la siguiente forma
W =
+ φ
n
Wr(qr, α1, . . . , αn) = W1(q1) + W2(q2) + . . . + Wn(qn) .
r=1
En este caso la relación
pk = ∂
Wk(qk, α1, . . . , αn) , k = 1, 2, . . . , n ,
∂qk