Diez lecciones sobre Sistemas Hamiltonianos, Integrabilidad y ...

72 Capítulo 6. Sistemas Separables II
Este resultado se conoce como criterio de Levi-Civita y las ecuaciones (LC) como condiciones
de Levi-Civita.
Supongamos que la función W admite una descomposición de la forma
W (q1, q2, . . . , qn) = W (q1) + W (q2) + . . . + W (qn) .
Entonces el momento pj, que considerado como función de las q’s viene dado por
pj = ∂W
∂qj
= ∂Wj
∂qj
depende solo de la variable qj. Por otra parte derivando H = E con respecto a qj obtenemos
∂H
∂qj
lo que permite despejar la cantidad ∂pj/∂qj
∂pj
∂qj
+ ∂H ∂pj
∂pj ∂qj
,
= 0 ,
= − ∂H/∂qj
.
∂H/∂pj
Por consiguiente, la condición de separación de variables para W conduce a
d
dqi
∂H/∂qj ∂H/∂pj
= 0 , i = j ,
donde la derivada d/dq i debe entenderse como una derivada total
d ∂ ∂pi
= +
dqi ∂qi ∂qi ∂
, (no hay sumatorio) .
∂pi
Desarrollando estas derivadas se obtienen las N condiciones (L-C) de Levi-Civita.
Este resultado es interesante pero difícil de manejar en la práctica ya que se trata de N
ecuaciones que relacionan de forma no lineal las distintas derivadas parciales del Hamiltoniano.
Sin embargo las condiciones (L-C) conducen a resultados muy interesantes cuando se considera
el caso particular de un Hamiltoniano de tipo mecánico (o natural). Consideremos un
Hamiltoniano de la forma
H = T + V , T = 1
2
n
g ij (q) pipj .
Entonces las condiciones (L-C) de Levi-Civita se descomponen en dos tipos de ecuaciones :
(i) Un primer grupo de ecuaciones que envuelven a la energía cinética T y son independientes
de la forma del potencial V
∂ 2 T
∂q i ∂q j
∂T
∂T
∂pi ∂pj
− ∂2 T
∂q i ∂pj
∂T
∂pi
ij=1
∂T
∂q j − ∂2 T
∂pi∂q j
∂T
∂qi ∂T
∂pj
+ ∂2 T
∂pi∂pj
∂T
∂q i
∂T
= 0 .
∂qj