Diez lecciones sobre Sistemas Hamiltonianos, Integrabilidad y ...

42 Capítulo 4. El problema de Kepler y el oscilador armónico
Esta integral puede ser utilizada para calcular el cambio ∆r que sufre θ cuando r varía desde
el valor mínimo rm hasta el valor máximo rM y vuelve de nuevo a rm. Si el valor ∆θ es
conmensurable con 2π entonces existen números enteros (m, n) tales que m∆θ = 2πn y la órbita
es cerrada. Dado que la órbita es simétrica con respecto a rm basta con integrar desde rm
hasta rM. Si denotamos por Θ el valor Θ = (1/2)∆θ entonces se tiene que cumplir la condición
mΘ = nπ para algún par de números enteros (m, n).
El método utilizado por Bertrand se desarrolla en tres pasos sucesivos:
1. Estudio de la existencia de órbitas circulares. Se demuestra que todo potencial de la forma
V = k r n admite una órbitra circular para un cierto valor rc del radio r.
2. Estudio del comportamiento de la órbita para pequeñas desviaciones ∆r de rc. Se demuestra
que las órbitas perturbadas sólo son cerradas si n ≥ − 2.
3. Utilización de un desarrollo perturbativo en torno a rc. Finalmente se obtienen los dos
valores distinguidos n = −1 y n = 2.
Demostraremos en primer lugar la siguiente propiedad.
Proposición 4 Consideremos un potencial central V (r) de la forma
Entonces
(i) Siempre existe una órbita circular.
(ii) Si n > − 2 entonces la órbita es estable.
V = k r n , k n > 0 .
La condición kn > 0 significa que la fuerza es atractiva. En realidad este potencial engloba dos
tipos de potenciales distintos según que la potencia n-ésima sea positiva o negativa
V = k r n , V = − k
, k > 0 , n > 0 ,
rn de tal forma que ambos casos la fuerza es atractiva
(i) El potencial efectivo viene dado por
f = − nk r n−1 , f = − nk
, k > 0 , n > 0 .
rn+1 Vef(r) = k r n +
J 2
.
2mr2 La existencia de una órbita circular significa que esta función debe tener un máximo o un mínimo
V ′
ef (r) = nk rn−1 J 2
− = 0
mr3