Diez lecciones sobre Sistemas Hamiltonianos, Integrabilidad y ...

2.3. Sistemas con un grado de libertad 27
La función W relaciona las nuevas coordenadas (β, α) con las antiguas (q, p)
y las nuevas Ec. de Hamilton son
son trivialmente integrables para dar
p = ∂
∂
W , β = W , W = W (q, α) ,
∂q ∂α
˙α = − ∂H′
∂β = 0 , β ˙
∂H
= ′
∂α
= 1 ,
α = cte (= H ′ ) , β = t + δ [ resulta conveniente elegir δ de la forma δ = −t0 ]
lo que permite obtener la solución del problema
t − t0 = ∂W
∂α =
q
∂
p(q, α) dq [ recordemos que W =
∂α
q0
p dq ] .
Todo lo anterior es cierto para un Hamiltoniano H general. Consideremos una función H de
tipo mecánico, esto es, un término cinético más un potencial
H = 1
2m p2 + V (q) ,
en cuyo caso la ecuación de H-J es de la forma
1
∂W
2 + V (q) = α [ α es el valor cte de la energia ].
2m ∂q
La Ec. Dif. permite despejar ∂W/∂q de la forma
∂W
∂q = 2m(α − V (q)) ,
que por integración directa conduce a
W = √
α
2m − V (q) dq .
No es necesario efectuar la integración ya que lo que se utiliza no es tanto W como sus derivadas
parciales. Teniendo en cuenta
se obtiene la solución del problema
˙Q = ∂H′
∂α
t − t0 = ∂W
∂α =
= 1 , Q = t + δ ,
m
2
q
q0
1
α − V (q) dq
donde, al igual que antes, hemos tomado por comodidad δ = −t0.