Diez lecciones sobre Sistemas Hamiltonianos, Integrabilidad y ...

18 Capítulo 1. Simetrías y Constantes del movimiento
1.6.1 Lagrangianos alternativos uni-dimensionales
Estudiaremos en primer lugar el caso de sistemas Lagrangianos con un único grado de libertad.
Consideremos dos Lagrangianos L1(q, ˙q, t) y L2(q, ˙q, t) equivalentes en el sentido de que
(i) Los Lagrangianos son distintos, esto es, L1 = L2.
(ii) Las ecuaciones de Lagrange de L1 y L2 son distintas entre sí pero conducen a las mismas
soluciones.
En este caso se dice que los Lagrangianos L1 y L2 son “s-equivalentes” (la s es por solución)
o “alternativos”.
Consideremos en primer lugar las dos ecuaciones de Lagrange
d
∂L1
−
dt ∂ ˙q
∂L1
∂q
= 0 ,
d
∂L2
−
dt ∂ ˙q
∂L2
∂q
Si denotamos por Wa = Wa(q, ˙q, t), a = 1, 2, los Hessianos (derivadas segundas con respecto a
las velocidades)
W1 = ∂2 L1
y por Fa = Fa(q, ˙q, t), a = 1, 2, las funciones
∂ ˙q 2 , W2 = ∂2L2 ∂ ˙q
2 ,
= 0 .
F1 = ∂L1
∂q −
∂2
L1
˙q −
∂q ∂ ˙q
∂2L1 ∂t ∂ ˙q , F2 = ∂L2
∂q −
∂2
L2
˙q −
∂q ∂ ˙q
∂2L2 ∂t ∂ ˙q ,
entonces las ecuaciones para L1 y L2 quedarán de la siguiente forma
W1 ¨q = F1(q, ˙q, t) , W2 ¨q = F2(q, ˙q, t) .
Estas dos ecuaciones son distintas ya que W1 = W2 y F1 = F2; pero puesto que determinan
las mismas soluciones, deben coincidir cuando son simplificadas y se rescriben en forma normal.
Si despejamos las aceleraciones, obtenemos
¨q = 1
F1(q, ˙q, t) , ¨q =
W1
1
F2(q, ˙q, t) ,
W2
de tal forma que las dos funciones que aparecen en los términos de la derecha deben ser la misma
función. Por consiguiente se debe cumplir
1
W1
F1(q, ˙q, t) = 1
W2
F2(q, ˙q, t) .
Esto significa que la función f21, definida como el cociente entre W2 y W1,
W2 = f21 W1 ,