Diez lecciones sobre Sistemas Hamiltonianos, Integrabilidad y ...

46 Capítulo 4. El problema de Kepler y el oscilador armónico
Conviene resaltar que hemos obtenido dos relaciones entre las siete constantes
(i) A · J = 0 , (ii) A 2 = m 2 k 2 + 2EJ 2 .
lo cual indica, tal como se ha comentado anteriormente, que solo cinco de estas constantes son
funcionalmente independientes.
El producto escalar del vector posición r por el vector A viene dado por
utilizando la propiedad
obtenemos
r · A = r · (p × L) − (mk)r
a · ( b × c ) = c · (a × b ) ,
r · A = J 2 − (mk)r .
Si denotamos por φ el ángulo que forma el vector posición r con la dirección fija de A, la fórmula
anterior que da de la forma
rA cos φ = J 2 − (mk)r
lo que permite obtener el valor de r como función del ángulo
1
r
mk
=
J 2
1 + A
mk
cos φ .
Esta expresión, que representa la ecuación de una cónica, coincide con la ecuación de la órbita
obtenida previamente integrando directamente las ecuaciones. Más aún, comparando ambas
expresiones podemos identificar el coeficiente del coseno con la excentricidad
e = A
mk
⇒ A = mke
lo que de nuevo permite identificar el módulo constante del vector de vector de Laplace-Runge-
Lenz con la excentricidad.
El vector A es un vector constante, situado a lo largo del semieje mayor de la elipse (órbitas
elípticas); teniendo en cuenta que cuando φ = 0 entonces r toma su valor mínimo se deduce que
A está dirigido hacia el perihelio (punto de distancia mínima) de la órbita.
A variety of alternative formulations for the same constant of motion may also be used. The
most common is to scale by mk to define the eccentricity vector
d
dt E = 0 , E = A
mk
1
=
mk (p × L) − r
r
Acabaremos este apartado con los dos comentarios siguientes:
(1) Hemos demostrado que, además de los dos métodos estudiados en apartados anteriores
(integración directa y ecuación de Binet) para obtener la solución del problema de Kepler,
existe un tercer método consistente en utilizar el vector de Laplace-Runge-Lenz. Más aún