Diez lecciones sobre Sistemas Hamiltonianos, Integrabilidad y ...

8 Capítulo 1. Simetrías y Constantes del movimiento
donde las funciones aj y bj vienen dadas por
aj =
v ′ j = vj + ɛ bj(q, v) + . . .
dq ′ j
dɛ
ɛ=0 , bj =
dv ′ j
dɛ
Las funciones aj dependerán de la transformación particular F que estemos considerando; en
cuanto a las bj serán de la forma
bj =
∂aj
vk .
∂qk
k
Estas 2n funciones (aj, bj) pueden interpretarse geométricamente como las 2n componentes de un
campo vectorial XF definido en el espacio de fases 2n-dimensional T Q. Si denotamos por X (T Q)
el conjunto de todos los campos vectoriales definidos en el espacio T Q entonces tendremos que
XF ∈ X (T Q × IR) estará determinado por sus 2n componentes
se denomina ”generador infinitesimal”
ɛ=0
XF → (a1, . . . , an, b1, . . . , bn)
(i) “infinitesimal” porque describe la acción de F (o F ) para pequeños valores de ɛ.
(ii) “generador” porque el conocimiento de XF permite, utilizando las propiedades asociadas a
la estructura de grupo de Lie, reconstruir la transformación F (o F ) para valores generales
de ɛ.
El campo vectorial determina un operador diferencial de la forma
XF ↦→
j
aj
∂
∂qj
+
que representaremos con la misma notación, esto es en lo sucesivo XF denotará tanto el campo
vectorial como el operador diferencial asociado. La acción de Xf sobre una finción f(q, v) vendrá
dada por
XF (f) =
1.4 Teorema de Noether I
j
aj ( ∂f
∂qj
j
) +
j
bj
∂
∂vj
bj ( ∂f
) .
∂vj
1.4.1 Transformaciones puntuales independientes del tiempo
Consideremos un Lagrangiano regular independiente del tiempo
L : T Q → IR , (q, v) ↦→ L = L(q, v)