Diez lecciones sobre Sistemas Hamiltonianos, Integrabilidad y ...

86 Capítulo 7. Sistemas super-Integrables
muy frágil. Por consiguiente, el hecho de que tanto el oscilador como Kepler admitan
“deformaciones superintegrables” es una propiedad muy interesante.
4. Desde un punto de vista puramente matemático, cada V r
i es un elemento de una base de
un espacio vectorial. La elección de esta base en particular (preferible a otras posibles
bases) se debe a su importancia desde el punto de vista dinámico.
5. El potencial de Kepler está presente en la familia V c y en la familia V d ; por consiguiente
este potencial V c
1
= V d
1
admite dos formas distintas de ser deformado preservando la
superintegrabilidad. Lo mismo es cierto para el oscilador isotrópico que aparece en V b and
V e . El oscilador no isotrópico 2:1 admite sólo una única deformación superintegrable.
6. El potencial 1/y 2 (ó 1/x 2 ) está presente en tres familias distintas (V a , V b , y V c ). Es
un potencial algo peculiar ya que depende sólo de una variable; es importante porque es
superintegrable por sí mismo y también porque resulta ser ’linealmente compatible’ con
los tres sistemas superintegrables fundamentales.
7. La familia V e es frecuentemente ignorada. Puede ser considerada como algo trivial ya que
es potencial V e es simplemente un oscilador armónico con el centro trasladado a un punto
arbitrario del plano.
7.3 Super-integrabilidad del oscilador armónico
Consideremos el oscilador armónico bidimensional
L = 1
2 (v2 x + v 2 y) − 1
2 (ω2 1x 2 + ω 2 2y 2 ) (masa m = 1)
Es un sistema trivialmente separable en Cartesianas con las dos energías unidimensionales,
I1 = Ex e I2 = Ey, como constantes del movimiento. Nuestro objetivo es demostrar que el caso
particular en el que el cociente de las dos frecuencias es un núnero racional
ω1 = n1ω0 , ω2 = n2ω0 , ω2/ω1 = n2/n1 , (n1n2, son numeros enteros),
el sistema es no solo integrable sino también superintegrable.
Denotemos por J1 y J2 las siguientes funciones complejas
J1 = vx + i n1ω0x , J2 = vy + i n2ω0y .
La evolución temporal de las funciones J1 y J2 viene dada por
d
dt J1 = d
dt (vx + i n1ω0x) = −(n1ω0) 2 x + i n1ω0vx = i n1ω0 J1 ,
d
dt J2 = d
dt (vy + i n2ω0y) = −(n2ω0) 2 y + i n2ω0vy = i n2ω0 J2 .